第一章 集 合 §1.1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念
1．元素与集合的概念
(1)集合：一般地，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的______构成的集合(或集)．通常用英语大写字母表示．
(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母表示． 2．集合中元素的特性：________、________. 3．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说________，记作_____________________________． (2)如果a不是集合A的元素，就说__________，记作______．
4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．
5．集合的分类
?集合?
?非空集合：
空集：不含任何元素，记作 .
按含有元素?? ：含有有限个元素
?的个数分为?? ：含有无限个元素
一、选择题
1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家 B．留长发的女生 C．2010年广州亚运会比赛项目 D．视力差的男生 2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A ；B．a?A ；C．a∈A ； D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A．直角三角形 ； B．锐角三角形；C．钝角三角形 ； D．等腰三角形
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 ； B．－2；C．6 ； D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( ) A．2 ；B．3；C．0或3 ；D．0,2,3均可
3
6．由实数x、－x、|x|、x2及－x3所组成的集合，最多含有( ) A．2个元素 ；B．3个元素；C．4个元素 ；D．5个元素 二、填空题
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________． 9．用符号“∈”或“?”填空
－2_______R，－3______Q，－1______N，π________Z. 三、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
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(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
22
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11．已知集合A是由a－2,2a＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
1
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
1－a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
2
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第一章 集 合 §1.1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念
知识梳理
1．(1)确定的不同的 全体 (2)每个对象 2.确定性 互异性
3．(1)a属于A a∈A (2)a不属于集合A a?A 4.R Q Z N N* N＋ 5.? 有限集 无限集 作业设计
1．C [选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]
2．C [由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.] 3．D [集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.] 4．C [因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.] 5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾； 若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3， 当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
3
6．A [因为|x|＝±x，x2＝|x|，－x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．] 7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1. 9．∈ ∈ ? ?
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
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(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含
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有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
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11．解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.
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2
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
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当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合题意．∴a＝－.
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12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
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13．证明 (1)若a∈A，则∈A. 又∵2∈A，∴＝－1∈A.
1－a1－2
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∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中另外两个元素为－1，.
2121－?－1?2
1－2
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(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠，∴A不可能为单元素集．
1－a1－a
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1.1.2 集合间的基本关系和基本运算
一、基础过关
1． 下列集合中，结果是空集的是
A．{x∈R|x2－1＝0} C．{(x，y)|x2＋y2＝0}
( )
B．{x|x＞6或x＜1} D．{x|x＞6且x＜1}
( )
2． 集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是
A．P＝Q C．P?Q 3． 下列命题：
B．P?Q D．P∩Q＝?
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若??A，则A≠?. 其中正确的个数是 A．0
( )
B．1 C．2 D．3
( )
4． 下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是
5． 已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}?M；③π?M；④{π}∈M.其中正确的有________．(填
序号)
6． 已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围是________． 7． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围． 8． 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围． 二、能力提升
9． 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是
A．15个
B．16个
( )
C．31个 D．32个
10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是
( )
A．S?P?M C．S?P＝M
B．S＝P?M
D．P＝M?S
11．已知集合A?{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A?B的实数a的取值范围．
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三、探究与拓展
13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A?B.若存
在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．
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