【解题后的思考】像这类以集合包装的题型不仅考查集合的概念和集合的运算，更重要的是考查利用数形结合、分类讨论、方程的数学思想解决问题，如本题也可利用方程的数学思想解决集合M?N非空等价于方程组
?x2?2x?y2?0有解的问题. ??y?x?a例6：（创新题）：
1. 非空集合G关于运算?满足：
（i）对任意的a，b?G都有a＋b?G，（ii）存在e?G，使得对一切a?G都有：
a?e?e?a?a，此时关于运算?的集合为“融洽集”.现给出下列集合运算： （1）G＝{非负整数}. ?为整数的加法. （2）G＝{偶数} . ?为整数的乘法.
（3）G＝{平面向量}. ? 为平面向量的加法. （4）G＝{虚数}. ?为复数的乘法.
其中G关于运算?为融洽集的有哪些？并说明理由.
2. 设集合S＝{A0,A1,A2,A3}，在集合S上定义运算：Ai?Aj?Ak，其中k是i?j被4整除的余数.（i,j?0,1,2,3)，满足关系式：(X?X)?A2?A0（X?S）的集合X的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【思路分析】按照题意，这两题都是新定义集合的创新试题.1. 按照新集合“融洽集”的定义逐一判断.2. 关键是理解：在集合S上定义运算法则.?X?S，故X?A0,A1,A2,A3等，然后逐一验证.
【解题过程】1. （1）由于任意的两个非负整数之和还是非负整数满足（i），同时存在e＝0满足（ii），故为融洽集.
（2）任意的两个偶数之和仍是偶数满足（i），但不存在偶数e， 使a?e?e?a?a成立.故不是融洽集
（3）由于任意的两个向量的和仍是向量，满足（i），存在e?0满足条件（ii），故是融洽集. （4）由于任意两个虚数的和不一定是虚数，不满足（i），故不是融洽集. 2. 当X?A0时，0＋0被4整除余数是0，故(X?X)?A2?A2不满足题意. 当X?A1时，1＋1被4整除余数是2，此时满足(X?X)?A2?A0 当X?A2时，2＋2被4整除余数为0，此时(X?X)?A2?A2不满足题意 当X?A3时，3＋3被4整除余数为2，此时满足(X?X)?A2?A0 故本题选C.
【解题后的思考】像这类创新型的集合问题是新课标高考命题的热点，解题的关键是对已知中的自定义集合“运算”或自定义“集合”中的定义的理解.
（1）在知识点一中出现的题型大都是选择题或填空题，掌握集合的基础知识是关键.同时，要能利用数轴、Venn图等数学工具解决问题.
（2）在集合的交、并、补集的基本运算中，基本上都以填空题或选择题出现，根据考纲的要求，一般计算量不会太大.主要考查基础与能力，掌握数轴或Venn图的数学工具的应用会给解题带来很大的方便，在以集合为载体的大题中要注重数学思想方法的应用，集合的创新问题一般难度不太大，但解题的关键是理解新定义、应用新定义.同时规范的解题步骤也是得分的重要环节.
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（答题时间：60分钟，满分60分）
一、选择题（每题5分 计20分）
1. 下列命题或表达式正确的个数是（ ）个
（1）???.（2）0??.（3）若集合A＝{x|x2?1?0}，则集合有2个子集. （4）{x|y?x2?1}?{y|y?x2?1}，（5）M＝{直线}，N＝{圆}，则M?N?? （6）CU(A?B)?CU(A?B). A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 集合M＝{（x，y）|x＋y＝2} N＝{（x，y）|x－y＝4}，则M?N?（ ） A. x＝3，y＝－1
B.（3，－1） D. {（3，－1）}
C. {3，－1}
*3. 设U＝R，A＝{x|x?0},B?{x|x?1},A?CUB?（ ） A.{x|0?x?1} C. {x|x?0}
B. {x|0?x?1} D. {x|x?1}
*4. 集合M＝{x|tanx2?1},N?{x|cos2x?0}，则M，N的关系是（ ） A. M?N C. M?N
二、填空题（每题5分，计15分）
*5. 集合M＝{(x,y)|y?k(x?1)?1}，集合N＝{(x,y)|x2?y2?2y?0} 则M?N的子集的个数是___________.
B. N?M D. M?N??
?x?1?a26. 设集合A＝{x|?}，若A非空，则a的取值范围是_________.
?x?4?2a*7. 从自然数1－20这20个数中，任取2个相加，得到的和作为集合M中的元素，则M的非空子集的个数是_________.
三、计算题：（25分）
*8. 设集合A＝{x||x?a|?2},B?{x|2x?1?1},A?B，求a的取值范围.（10分） x?2*9. 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样的一个集合：若C中的各个元素都加上2，则变为A的一个子集，若C中的各个元素都减去2，则变为B的一个子集，求集合C的个数.（5分）
**10. 已知集合A＝{x|x?px?q?0},B?{x|qx?px?1?0}同时满足下面的条件： （i）A?B??,(ii)A?(CRB)?{?2},(p,q?0)，求p，q的值.（10分）
22
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一、选择题
1. A 解析：（1）（5）是正确的. 2. D 3. B
4. C 解析：由tanx?1?tanx??1?x?k??由cos2x?0?2x?2k?? 二、填空题
5. 4 解析：由?2?4，
?2?x?k???4，故M＝N.
?y?k(x?1)?122?x?y?2y?0?(1?k2)x2?2k2x?(k2?1)?0，
?1?k2?0,??4k4?4(1?k2)(1?k2)?4?0，
?M?N中有两个元素，?M?N的子集有4个.
6.（－1，3） 解析：由已知：1?a?4?2a??1?a?3. 7. 2素.
三、计算题
8. 解：化简集合A＝{x|a?2?x?a?2},B?{x|?2?x?3}，集合A显然非空， 利用数轴由A?B得：?372?1 解析：由已知集合M中的最小数是1＋2＝3，最大数是19＋20＝39，故集合M中共有37个元
?a?2??2?0?a?1，
a?2?3?故a的取值范围是［0，1］.
9. 解：（逆向思维）A中的元素都减去2得集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得集合E＝{3，4，5，6，7，10}，故集合C是集合D与集合E的交集的真子集，故集合C有2?1?7个.
10. 解：设x0是集合A中的元素，则x0?px0?q?0?q?故
2311?p??1?0， 2xx001?B，即集合A，B中的元素互为倒数. x01?x0??1，又A?(CRB)?{?2}??2?A， x012由A?B??一定有：x0?故A＝{1，－2}或A＝{－1，－2}， 由此求得B?{1,?}或B?{?1,?}， 由根与系数的关系知：
12）＋（－2）＝?p?p?1?1?(?2)??p（－?1?p?3. 或?或????1?(?2)?q(－1)?(－2)?qq??2q?2????
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第2．1．1节 函数
?研习教材重难点
研习点1．函数的定义
1．函数的概念（重点）
函数的传统概念：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域．
从这个概念出发，我们知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，并且这种对应关系可以描述为：对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应,记作f：A→B．
函数的近代定义:一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作: y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．定义域、值域与对应关系
对函数概念的理解：
1函数的两个定义从本质上来说是一致的，只是叙述概念的出发点不同．在函数的两个定义中，传统定义是以变量的概念为基础的，○
它生动形象易于接受，所以初中采用了这个定义；近代定义是以集合和对应为基础的，把函数看成数集到数集的一种对应，突出自变量与函数值之间的对应关系，用近代定义解释各种各样的函数都很方便，从而使函数的近代定义更具有一般性．例如函数
f统称为函数的三要素．
?1(当x是有理数时)，如果从运动变化的观点来解释这个函数的意义就会非常困难，但用集合、对应的观点来解释，就会十分f(x)???0(当x是无理数时)自然．
2“y=f(x)”仅仅是函数符号，f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．这里，x是自变量，它是法则所施加的对象；○
关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；的
f是对应
y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应
y的值就是与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式就是函数的解析式．在研究函数问题时，我们除了常用
f(x)表示函数外，还经常会用到g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
3○
f(x)与f(a)的既有联系又有区别,一般而言,f(a)表示当x?a时函数f(x)的值,是一个常量；而f(x)是自变量x的函
f(a)仅仅是f(x)的一个特殊值，例如一次函数f(x)?3x?4，当x?8时，
数，在一般情况下，它是一个变量，
f(8)?3?8?4?28是一个常数．
4对应关系○
f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接自变量x与变量y的纽带．按照这一“程
序”或“方法”，从集合A任取一个x，可得集合{y|y?f(x),x?A}中唯一的y与之对应．同一个f可以“操作”于不同的形式
的变量，例如
，f(2x?3)是对2x?3进行的“操作”，同样，f(2)是对2进行的“操作”等． f(x2)是对x2进行的“操作”
5其实由于函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：（1）定义域和对应关系是否给○
出；（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值【辨析·比较】 对应
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y.
对应和集合一样,也是一个不加定义的数学概念,《现代汉语词典》中对“对应”的解释是:一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上与另一系统中某一项相当．在数学中，对应是两个集合A与B之间的某种关系，对于A中的每一个元素来说，有以下三种情况：（1）B中有唯一元素与之对应；（2）B中没有元素与之对应；（3）B中不止一个元素与之对应．对于B中的每一个元素，也有上述类似情况．
典例1．下列对应关系是集合P上的函数是有 ．
（1）P?Z,Q?； N*，对应关系f:“对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”
1,4}，对应关系：（2）P?{?1,1,?2,2},Q?{（3）Pf:x→y?x2,x?P,y?Q；
” ?{三角形},Q?{x|x?0}，对应关系f:“对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．
【研析】由于（1）中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且（3）中集合P不是数集，从而知只有（2）正确．
2．函数的定义域（重点）
定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况： (1)若(2)若(3)若
f(x)是整式，则其定义域为全体实数集R；
f(x)是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；
f(x)是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；
(4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)对于复合函数集合.○2如果函数
f[g(x)]而言:○1如果函数f(x)的定义域为A，则f[g(x)]的定义域是使得函数g(x)?A的自变量x的取值
f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域是函数g(x)的值域；
(6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出. 【梳理·总结】 求函数定义域的几种常见题型
对函数的定义域的考查主要体现在以下六个方面：(1)求已知函数的定义域；(2)已知原函数的定义域求复合函数的定义域；(3)已知复合函数的定义域求原函数的定义域；(4)已知一复合函数
f[g(x)]的定义域,求另一方面一复合函数f[?(x)]的定义域；(5)求实
际问题或几何问题的定义域；(6)已知函数的定义域求参数的取值范围．
典例２．求下列函数定义域
(1)
f(x)?4?x?2x；(2)f(x)?111?x；(3)f(x)?1?x1?x
【研析】(1)由题意知4?x?0,?x??4,故f(x)的定义域是{x|x??4}.
(2)由x?0且1?1?0,得x?0且x??1,故f(x)的定义域是{x|x?0且x??1}. xx?0,得x?1且x??1,故f(x)的定义域是{x|x?1且x??1}.
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(3)由1?x?0且1?