?n?3??1?mm由题意知：? ，解得m?2 ，n?0 ???1?2?∴ f(x)?x2?2x．
设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，
则x0＝－x，y0＝－y.
2 ∵ 点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，∴－y＝x?2x， ∴ y＝?x?2x， ∴ g(x)＝?x?2x．
又例：已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(?1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解析：用待定系数法
解法一：利用二次函数一般式 ，设f(x)?ax?bx?c(a?0)，
222 由题意得
??4a?2b?c??1??a?b?c2??1 ?4ac?b?8?4a??a??4?解之得 ?b?4 ∴ 所求二次函数为f(x)??4x2?4x?7．
?c?7?2解法二：利用二次函数顶点式，设f(x)?a(x?m)?n， ∵ f(2)＝f(?1)＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为x＝∴ m?1?m. 2112，又根据题意函数有最大值为n?8，∴ f(x)?a(x?)?8 2212∵ f(?1)＝－1，∴ a??4 ∴ f(x)??4(x?)?8??4x2?4x?7.
2解法三：利用两根式 由已知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
?4a(2a?1)?a2又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8，
4a2解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为f(x)＝??4x?4x?7.
［例6］已知二次函数f(x)满足f(0)?1和f(x?1)?f(x)?2x.
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（1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)在??1,1?上的最大值和最小值．
?? 提 示 在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法．透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”．
解析：（1）用待定系数法∵ f(0)?1，设所求二次函数为 f(x)?ax2?bx?1(a?0)，由题意，有
f(x?1)?f(x)?a(x?1)2?b(x?1)?1?(ax2?bx?1)?2x
即 2ax?a?b?2x 对任何都成立．∴ a?1，b??1 即f(x)?x2?x?1． （2）配方，得f(x)?x?x?1?(x?)?根据函数图象可知 f(x)min
【技巧提示】 配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法，属于通法．要求熟练掌握，灵活运用． ［例7］函数f(x?m)?x2?2x?3，若函数f(x)在(??,3]上是减函数，则实数m的取值范围是 ． 解析：由f(x?m)?x2?2x?3 得 函数f(x)?(x?m)2?2(x?m)?3
2123，
2413?f()?，f(x)max?f(?1)?3．
24?x2?2(m?1)x?m2?2m?3．
再由f(x)在(??,3]上是减函数，得 ?另解：由函数f(x)在(??,3]上是减函数，
2知f(x?m)?x?2x?3 在 (??,3?m] 上是减函数，
2(m?1)≥3 ∴ m≤－2． 答案：m≤－2． 2于是，有 ??2?1?3?m， ∴ m≤－2． 2【技巧提示】 牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征．二次函数f(x)在(??,m]单调，则?b?m，其余类推． 2a又例：已知函数y?x?2(a?2)x?1在(??,4)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
2
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解析：由题意，有 ?2(a?2)?4， ∴ a≤－2．答案：a≤－2． 2四、课后训练
?2x?3(x?0)?1．函数y??x?3(0?x?1)的最大值是________
??x?5(x?1)?2．已知y?mx?5和y?x?n的图象关于直线y?x对称，则m?n? 3．若函数f(x)?ax?2a?1 的值在区间??1,1?上有正也有负，则实数a的范围是_____________． 4．函数f(x)?2x2?6x?1 在区间[－1,1]上的最小值是___，最大值是_____．
5．若二次函数f(x)?x?2mx?m?2的图象的对称轴方程为x＝1，则m?____________，顶点坐标为___________，单调递增区间为____________．
6．抛物线y?ax?bx?c(a?0)的对称轴是x＝2，且经过点P(3,0)．则a?b?c的值为（ ）
Ａ．?1 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2
22227．若函数y?x?(a?2)x?3，x?[a,b]的图象关于直线x?1对称，求b的值．
228．已知二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点为(?1,0),(3,0)，其形状与抛物线y??2x相同，求
y?ax2?bx?c的解析式．
9．已知f(x)??4x?4ax?4a?a在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值
210．已知函数f(x)?x?ax?5满足f(2?x)?f(2?x)，若x?[0,m]时，函数f(x)?[1,5]，求实数m的取值
22范围．
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五、参考答案
1．4 2．－4 3．?1?a?? 4．－3 9 5．－1，（1，－4），?1,??) 6．B 7．6
8．解析：由题意，直接得 y??2(x?1)(x?3)，即y??2x2?4x?6． 9．解析：配方 f(x)??4x2?4ax?4a?a2＝?4(x?若
13a2)?4a． 2a2＜0，即a＜0，最大值为f(0)＝?4a?a＝－5，a＝1（舍去），a＝－5； 2aa5若0≤＜1，即0≤a＜2，最大值为f()＝?4a＝－5，a＝；
224a2若≥1，即a≥2，最大值为f(1)＝?4?a＝－5，a＝?1（舍去）． 25∴ a＝－5 或 a＝．
410．[2,4]
2.3 函数的应用（1）测试题
一、选择题
1．一等腰三角形的周长是２０，底边ｙ是关于腰长ｘ的函数，它的解析式为（ ） Ａ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ?１０） Ｂ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ＜１０）
Ｃ．ｙ＝２０－２ｘ（５?x?10） Ｄ．ｙ＝２０－２ｘ（５＜ｘ＜１０）
２．已知Ａ，Ｂ两地相距１５０千米，某人开汽车以６０千米／小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离表示为时间t的函数,表达式是( )
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A．ｘ＝６０ｔ Ｂ．ｘ＝６０ｔ＋５０ｔ
?60t(0?t?2.5)?60t(0?t?2.5)??ｃ．ｘ＝?150(2.5?t?3.5)Ｄ．ｘ＝?
?150?50(t?3.5)(3.5?t?6.5)?150?50t(t?3.5)??3．一根弹簧，挂重１００Ｎ的重物时，弹簧伸长２０ｃｍ，当挂重１５０Ｎ的重物时，弹簧伸长（ ）
Ａ．３ｃｍ ｂ．１５ｃｍ ｃ．２５ｃｍ Ｄ．３０ｃｍ
4．用长度为２４米的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ） Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ
5．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１
x2（０＜ｘ＜２
４０，ｘ?Ｎ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ） Ａ．１００台 Ｂ．１２０台 Ｃ．１５０台 Ｄ．１８０台
6．某商场出售一种产品，每天可卖１０００件，每件可获利４元，根据经验，若每件少买１角，则每天可多买１００件，为获得最好的经济效益，每件应减价（ ）
Ａ．１．５元 Ｂ．２元 Ｃ．３元 Ｄ．２．５元 二、填空题
7．一个水池每小时注入水量是全池的１／１０，水池还没注水部分的总量ｙ随时间ｔ变化的关系式是 ．
8．用一根长１２米的铁丝弯成一个矩形的框架，则框架的最大面积是 ．
9．某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从２月１日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用如图表示．写出市场售价与时间的函数关系式 ．
10．从盛满２０Ｌ纯酒精的容器里到倒出１Ｌ酒精，然后用水填满，再倒出１Ｌ混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第ｋ（ｋ?1）次时，共倒出纯酒精ｘＬ，倒第Ｋ＋１次时共倒出酒精ｆ（ｘ）Ｌ，则ｆ（ｘ）的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变） ．
11．某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元 三、解答题
12。商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠一个茶杯；（２）按总价的９２％付款．
某顾客需购买茶壶４个，茶杯若干个（不少于４个），若购买茶杯数ｘ个，付款ｙ（元），分别建立两种优惠办法中ｙ与ｘ之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠。
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