答案
1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
2????a＋2a－3＝5，?a＝2，?a＝－4，??又b∈A，∴b∈U，由此得解得或?经检验都符合题意． ?b＝3.????b＝3?b＝3
8． 解 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，∴?UM＝{2,3,5}．
又∵N＝{1,3,5}，∴N∩(?UM)＝{3,5}．
(2)∵M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，∴M＝{－2，－1,0,1}； ∵N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，∴N＝{－1,0,1,2,3}， ∴M∪N＝{－2，－1,0,1,2,3}． 9． C 10．B 11．(?UB)?(?UA) 12．解 因为B∪(?UB)＝A，所以B?A，
U＝A，因而x2＝3或x2＝x. ①若x2＝3，则x＝±3.
当x＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，此时?UB＝{3}； 当x＝－3时，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，此时?UB＝{－3}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而?UB＝{3}． 综上所述，?UB＝{3}或{－3}或{3}．
13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
a＋x＝20，??
根据题意有?b＋x＝11，
??a＋b＋x＝30－4.
解得x＝5，即两项都参加的有5人．
集合间的关系与运算
（知识网络结构）
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??1.元素与集合的关系：属于：?，不属于???性、互异性、无序性?2.集合元素的特性：确定?集合与集合的表示方法??无限集、空集?3.集合的分类：有限集、??4.集合的表示法：列举法?、描述法、区间法、Venn图法???子集：若任意的x?A,则x?B,那么集合A是集合B的子集，记A?B???注：（i)空集?是任何集合的子集,(ii)任何集合A?A????集合之间的关系?真子集：若A?B,且A?B,则A是B的真子集??注：空集是任何非空集合的真子集?????集合相等：若A?B且B?A,则A?B??1.交集：定义：A?B?{x|x?A且x?B}?性质：A?B?B?A,A?A?A,A??????注：x?(A?B)?x?A或x?B,A?B?A?A?B??2.并集：定义：A?B?{x|x?A或x?B} ?性质：A?B?B?A,A?A?A,A???A??注：x?(A?B)?x?A且x?B,A?B?B?A?B??3.补集：定义：CuA?{x|x?U且x?A}?性质：（CUA)?A?U,(CUA)?A??,CU(CUA)?A??注：CU(A?B)?(CUA)?(CUB),CU(A?B)?（CUA)?（CUB)?常用的结论：若集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数是2个，真子集个数是2?1个，非空真子集个数是2?2个.
知识点一：集合的基础知识（集合的表示法、集合之间的关系）
例1：（基础题）
把下面的说法或表示方法正确的命题的序号填在题后的横线上
（1）已知集合S?{A,B,C}中的三个元素是?ABC的三个内角，则三角形一定是非等腰三角形 （2）集合A＝{（x，y）|y?x?4}?{x|y?x?4}?{y|y?x?4} （3）若集合A?[0,??)，集合B＝(0,??)，则B?A
（4）设P表示?ABC所在平面上的点.且集合S＝{P|PA?PB?PC}，则P是?ABC的外心 （5）已知U是全集，M、N是U的两个子集，若M?N?U,M?N??，则(CUM)?(CUN)?U （6）任何一个集合至少有两个子集
（7）集合P＝{x|x?1?0,x?R}的真子集个数是4个. 上述命题中正确命题的序号是_________________. 【思路分析】本题考查集合的表示法和集合之间的关系等知识，
（1）考查合元素的特性—互异性. （2）集合的表示法：
集合A?{(x,y)|y?f(x)},B?{x|y?f(x)},C?{y|y?f(x)}，表示含义不同，A是点集，B，C都是数集.
（3）考查用区间表示集合、子集的含义.
（4）考查描述法表示集合的含义及三角形外心的概念.
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2222nnn
（5）考查利用Venn图表示集合的方法及其简单的应用. （6）考查子集的概念，空集是任何集合的子集. （7）考查一个集合的子集的个数问题. 【解题过程】
（1）根据集合元素的特性－互异性知：A，B，C任意两个角都不相等，故命题正确.
（2）三个集合{(x,y)|y?x2?4},{x|y?x2?4},{y|y?x2?4}表示的含义不同，A＝
{(x,y)|y?x2?4}是点集，B?{x|y?x2?4}是数集，表示函数y?x2?4的x的取值集合即函数定义域，集合C
＝{y|y?x2?4}表示的是函数y的取值集合，即函数的值域.故命题错误.
（3）由区间表示的含义知：集合A中的元素0?B，根据子集定义知：B?A，故命题正确. （4）由S＝{P|PA?PB?PC}知P点到三角形ABC的三个顶点的距离相等.故命题正确 （5）根据已知集合U，M，N的关系，画出Venn图（如图）：知命题正确.
（6）当A＝?时，集合A的子集只有一个，就是其本身.故命题错误. （7）由于集合P＝{－1，1}的子集个数是2个，真子集个数是2?1?3个. 故命题错误.
正确命题的序号是：（1）（3）（4）（5）
【解题后的思考】解决这类概念性问题的关键是理解集合表示方法的含义，特别是用描述法表示的集合竖线左边的元素是什么要分清楚，对集合关系的判断可以借助数轴、Venn图等工具判断.
例2：（中等题）
（1）已知集合A?{x||x|?2,x?R},B?{x|x?a},且A?B，求a的取值范围.
（2）已知集合M＝{m|?1?m?0},N?{m?R|mx?2mx?1?0}对任意实数x恒成立，判断集合M与N的关系.
【思路分析】本题考查两个集合关系的判断及两个集合关系的应用.
对（1）根据A?B借助数轴判断，对（2）首先要认识集合N的含义，它表示的是m的取值集合，然后根据
222mx2?2mx?1?0对任意的实数x恒成立来确定m的取值范围.
【解题过程】（1）化简集合A＝{x|?2?x?2}，由集合A?B结合数轴得：
a??2
（2）化简集合N：当m＝0 时mx2?2mx?1?0对任意的实数x恒成立. 当m?0时
?m?0由mx?2mx?1?0对任意的实数x恒成立??解得： 2???4m?4m?0－1?m?0，故集合N＝{m|?1?m?0}
2借助数轴知：集合M，N的关系是M??N
【解题后的思考】这类问题是集合中常见的经典题型，主要考查借助数轴判断两个集合的关系或根据两个集合的关系借助数轴求参数范围的问题，体现了数形结合的思想的应用.在（1）中易错点是a能否取到－2，需要验证.不妨取a＝－2
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则B?{x|x??2}，符合A?B. 例3：（创新题）
已知集合A＝{(x,y)|x2?y2?4x?4y?7?0},B?{(x,y)|xy??10},x,y?R
（1）对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P的距离最小值”定义点P到直线M的距离与原有的点线距离的概念是等价的，试以类似的方式给出一个点集A与点集B的“距离”的定义.
（2）依照你给出的定义求点集A与点集B的距离.
【思路分析】根据题意知：本题是集合新定义问题，解决本题的关键是理解点线距离，定义的实质是：“点与点距离的最小值”，在此基础上正确给出两个点集距离的定义，由此才能解决第二问.在第二问中：集合A中的点构成一个圆：圆心为C（－2，－2），半径为1，即（x?2)2?(y?2)2?1，集合B中的点集构成双曲线.所以要求点集A与点集B的距离实质是求圆C上一点与双曲线上一点的距离的最小值. 【解题过程】
（1）点集A与点集B距离的定义：在点集A，B上分别取一点，所取两点之间的距离若有最小值，则此最小值为点集A与点集B的距离.
（2）设P（x，y）是双曲线xy＝－10上任意一点，则
|PC|2?(x?2)2?(y?2)2?x2?y2?4(x?y)?8?(x?y)2?2xy?4(x?y)?8?(x?y)2?4(x?y)?28 ?(x?y?2)2?241－11?x?y?2?0??x??1?11??x＝－??或?当且仅当?时，|PC|2. ??xy??10?y??1?11??y??1?11最小，此时|PC|的最小值是26，即点集A与点集B的距离的最小值是26－1.
【解题后的思考】在集合问题中除了考查基本概念和基本运算外，还会考查一些有关集合新定义的问题，这也是高考命题的方向，这类问题考查了学生的抽象概括能力.
知识点二：集合的运算 例4：（基础题）解答下列各题
（1）已知集合A＝{x|3 A?B?{x|x??2},A?B?{x|1?x?3}，求a＋b的值； （3）已知集合A＝{x|x?ax?a?9?0},B?{x|log2(x?5x?8)?1}， 222C?{x|x2?2x?8?0}，问是否存在a的值使A?B??,A?C??同时成立？ 【思路分析】本题考查集合的交、并、补集的基本运算.对（1）题借助数轴容易求出 A?B,(CUA)?(CUB)或利用性质：CU(A?B)?(CUA)?(CUB)解题.对（2）题同样借助数轴由A?B,A?B求a，b的值.（3）题：先化简集合B、C，再根据A?B??,A?C??同时成立的两个条件求a的值. 【解题过程】（1）由数轴得：A?B＝{x|－1 ?CU(A?B)?{x|x?7或x??1}，故(CUA)?(CUB)?{x|x?7或x??1} （2）由数轴观察得：a＝1，b＝3，即a＋b＝4 - 14 - （3）对于集合B：由log2(x?5x?8)?1?x?5x?6?0?x1?2,x2?3， 即B＝{2，3}，C＝{－4，2} 由A?B??,A?C???3?A,2?A 把x＝3代入方程x?ax?a?9?0求得a＝0或a＝3 验证：当a＝0时，A＝{3，－3}，当a＝3时，A＝{3，0}都满足已知条件. 故所求a的值是0，3. 【解题后的思考】对于集合的交、并、补集的运算要能熟练的利用数轴或利用Venn图解决.使抽象的问题形象化.这类问题大多是填空题或选择题或大题中的一个步骤而已.但对以集合为载体的大题（（3）题）要掌握解决问题的切入点.如：本题的切入点就是对条件“A?B??,A?C??”的理解. 例5：（中等题） 1. 已知集合A?{x|ax2?3x?2?0} （1）若集合A是空集，求a的取值范围. （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值. （3）若集合A中至多含有一个元素，求a的取值范围. 2. 已知集合M＝{(x,y)|x2?2x?y2?0}，集合N＝{（x，y）|y＝x＋a}， 若???(M?N)，求a的取值范围. 【思路分析】根据题意知：题1：考查集合A中的元素的个数与方程 2222ax2?3x?2?0的根的个数关系，从而转化为判定方程ax2?3x?2?0 解的个数问题，这是本题的切入点. 题2：在理解???(M?N)含义的前提下转化为直线与圆的位置关系的问题. 【解题过程】1. 集合A是方程ax?3x?2?0的解集. （1）集合A为空集等价于：ax?3x?2?0的解集为空集， 即??(?3)?8a?0?a?22299，故当a?时，集合A为空集. 882（2）集合A只含有一个元素包含两种情形：（i）ax?3x?2?0是一次方程 2此时a＝0，（ii） ax?3x?2?0有等根???0?a?9 8故当a＝0或a＝ 9时，集合A只含有一个元素. 8（3）集合A中至多含有一个元素包含两种情形：（i）A为空集，（ii）A中只含有一个元素. 综合（1）（2）知：所求a的取值范围是{a|a?}?{0} 2. 由已知：???(M?N)得：集合M?N非空.而集合M中的点构成圆C： 98(x?1)2?y2?1，集合N中的点构成直线L：y＝x＋a, 故集合M?N非空等价于直线L与圆C有公共点， 即： |?1?0?a|2?1?1?2?a?1?2，故所求a的取值范围是[1?2,1?2] - 15 -