3．相等函数的判断（难点）
由函数的定义可知，一个函数构成的三个要素是：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
典例３．下列说法中正确的个数为( )
A.
y?f(x)与y?f(t)表示同一个函数 B. y?f(x)与y?f(x?1)不可能是同一函数 f(x)?1与f(x)?x0表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
C.
【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.
研习点2．区间的概念
1．区间的分类
设a,b是两个实数，而且a（1）满足不等式a（2）满足不等式a（3）满足不等式a?b.我们规定：
?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为?a,b?; ?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);
?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点，其中实数a叫做区间的左端点，实数b叫做区间的右端点，b?a叫做区间的长度.
2．区间的数轴表示
在数轴上，区间可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
定 义
名 称
符 号
数轴表示
{x|a?x?b} {x|a?x?b}
闭区间 开区间
[a,b]
aaaabbbb
(a,b)
{x|a?x?b} 左闭右开区间 [a,b) {x|a?x?b} 左开右闭区间 (a,b]
3．无穷大的概念
实数集R可以用区间表示为(??,??)，“?”读作“无穷大”，“??”读作“负无穷大”，“??”读作“正无穷大”.这里应该注意“?”是一个符号而不是一个数.用??，??作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，这样我们就可以把满足x?a，x?a，x?b，x?b的集合分别用区间表示出来了，如下表所示：
定 义 符 号
{x|???x???} (??,??)
{x|x?a} {x|x?a}
- 21 -
[a,??) (a,??)
{x|x?b} {x|x?b}
【探究·发现】 区间意义与使用规则
(??,b] (??,b)
区间是集合的另外一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示方法（1）集合表示法；（2）不等式表示法；（3）区间表示法.例如:大于1小于2的实数的集合可以分别表示为如下的三种形式:
{x|?1?x?2},?1?x?2,(?1,2),至于用哪一种形式,可根据习惯或简明的原则来选取用.另外,在用区间表示集合时应注意区
的使用规则:(1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来;(3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“??”或“??”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.
研习点3．函数的值域(难点)
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数
y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b2)}；当a<0时，值域为{(4ac?b2)}.
y|y?4a4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.
f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；
典例4 求下列函数的值域：
（1）
2（2）y??x?6x?5；（3）y?y?3x2?x?2；
3x?1；
x?22x2?x?2（4）y?x?41?x；（5）y?|x?1|?|x?4|；（6）y?.
x2?x?1【研析】（1）（配方法）?y?3x?x?2?3(x?)?∴
21622323?， 1212y?3x2?x?2的值域为[23,??). 12，则原函数可化为y????x2?6x?5（??0）
.
（2）求复合函数的值域：设?又∵?∴
??x2?6x?5??(x?3)2?4?4，∴0???4，故??[0,2]，
y??x2?6x?5的值域为[0,2].
3x?13(x?2)?77， ??3?x?2x?2x?2- 22 -
（3）分离变量法：y?
∵
77?0，∴3??3， x?2x?2∴函数
y?3x?1的值域为{y?R|y?3}.
x?2（4）换元法：设t∴原函数可化为
?1?x?0，则x?1?t2，
y?1?t2?4t??(t?2)2?5(t?0)，∴y?5，
∴原函数值域为(??,5].
??2x?3(x??4)?(?4?x?1)，∴y（5）数形结合法：y?|x?1|?|x?4|??5?2x?3(x?1)?（6）判别式法：∵x2?5，∴函数值域为[5,??).
?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R.
2x2?x?22由y?得：(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 ① 2x?x?1①当
y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R
y?2?0即y?2时，∵x?R时方程(y?2)x2?(y?1)x?y?2?0恒有实根，
②当∴△
??(y?1)2?4?(y?2)2?0，∴1?y?5且y?2，
∴原函数的值域为[1,5].
?探究解题新思路
▲ 基础思维探究
题型一 函数的概念 典例1．如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有 ．
y1?1y11xyy11?11x?1O?11xO?1(1).O?1O?11x
(2).(3).(4).
【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x?a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当?1?a?1时，直线x?a与函数的图象仅有一个交点，当a?1或a??1时，直线x?a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有（2）（3）．
探索发现 应紧扣函数的定义，只需画出与x轴垂直的直线，若仅有一个交点，则表示函数关系，若有两个或两个以上，就不是函数
关系．
【拓展·变式】
- 23 -
1．函数
y?f(x)的图象与直线x?a的交点的个数为（
）
Ａ．必有１个 Ｂ．１个或２个 Ｃ．至多１个 Ｄ．可能２个以上
题型二 函数的定义域 典例2．求下列函数的定义域
11；（2）f(x)?3x?2；（3）f(x)?x?1?. x?22?x11【研析】(1)使分式有意义的实数x的集合是{x|x?2},从而函数f(x)?的定义域是{x|x?2}.
x?2x?222(2)使根式有3x?2有意义的实数x的集合是{x|x??},从而函数f(x)?3x?2的定义域是{x|x??}.
331(3)使根式x?1有意义的实数x的集合是{x|x??1},使分式有意义的实数x的集合是{x|x?2}.所以函
2?x1数f(x)?x?1?的定义域是:
2?x（1）f(x)?{x|x??1}?{x|x?2}={x|x??1且x?2}.
反思领悟 求函数的定义域往往需要将问题转化成解不等式或不等式组的问题，最后再将它们正确合并，定义域的表达形式可以是集x2合形式，能用区间表示时也可以用区间表示．再者，求定义域 的基本原则是解析式不化简.例如求函数y?的定义域时，不能将其x化简成y?x，否则所求的定义域的范围将扩大. 【拓展·变式】 2．求函数y?
题型三 函数的值域
典例3．已知函数f(x)=x2 +mx – 4 在区间〔2，4〕上的两个端点取得最大的最小值。 (1)求m的取值范围；
(2)试写出最大值Y为m的函数关糸式;
(3)最大值Y是否存在最小值?若有，请求出来；若无，请说明理由。
x?1的定义域
|x?1|?|x?1|3mm?2或－?4?m??4或m??8. 22 (2)当m??4时，x=4时，最大值是y=4m+12; 当m??8,x=2时，最大值是y=2m (3)当m??4且m=－4时有最小值是y=－4;当m??8时，无最小值。
【研析】 (1) －
综上所述，m在它的取值范围内没有最小值。
【拓展·变式】 3．求下列函数的值域:
2x2?2x?3(1)y?x?1?2x；(2)y?.
x2?x?1
题型四 相等函数的判断
- 24 -
典例4．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=x2，g（x）=3x3； （2）f（x）=
x?0,?1|x|，g（x）=?
?1x?0;x?－
（3）f（x）=2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n1（n∈N*）； （4）f（x）=xx?1，g（x）=x2?x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1
【研析】（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n1=x，它们的定义域、值域及
－
x?0,?1|x|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=?的定义域为R，所以它x??1x?0;对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的
定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 推广引申 对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x+1，f（t）=t+1，f（u+1）=（u+1）+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数. 222【拓展·变式】
4．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．
f(x)?1，g(x)?x0 B．
x2f(x)?x?1，g(x)??1
x
C．
f(x)?x2，g(x)?(x)4 D．f(x)?x，g(x)?3x3
▲ 综合思维探究
题型一 学科内综合题
2典例5．已知函数f(x)?ax?bx?c，若f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1，试求函数f(x)的值域.
【研析】由f(0)?0，得c?0，从而f(x?1)?(x?1)2?(x?1)，而f(x)?x?1?ax2?bx?x?1.
- 25 -