?r?0,55?由?l?0,得＜r＜5,∴S=－r2+5r的定义域为（，5）
π???l?2πr,π???522555）+且r=∈（，π）， 22π??4525∴当r=时，S最大=,
24525又S＞－52+5×5=0，∴S=－r2+5r，r∈（，5）的值域为（0，］
π??4又S=－r2+5r=－（r－
9.解：令x?y得：f2(x)?g2(y)?g(0). 再令x?0，即得g(0)?0,1. 若g(0)?0，令x?y?1时，得f(1)?0不
合题意，故
g(0)?1；g(0)?g(1?1)?g(1)g(1)?f(1)f(1)，即
1?g2(1)?1，所以
g(1)?0；那么
g(?1)?g(0?1)?g(0)g(1)?f(0)f(1)?0，g(2)?g[1?(?1)]?g(1)g(?1)?f(1)f(?1)??1..
10.B 提示：?函数y?f(x)的定义域是[0,2]，从而f(2x)的定义域为[0,1]，而函数g(x)的分母不能为零即x?1，从而函
数g(x)的定义域为[0,1).
优化考题新演练 1． A 2．C 3．B 4.D
5.
132 解析: ：∵
13?2，f?x??f?x?2??13且f?1??2 ∴f?1??2，f?3??13?13，f?5??f?1?2f?3?f?7???21313?，f?9??13?2，?， ∴f?2n?1????13f?5?2f?5???2n为奇数n为偶数 ，
∴f?99??f?2?100?1??13
26. (?2,2)
7.解(1)f(x)的定义域为{x|x?1}而g(x)的定义域为R,因此f（x）与g（x）不能表示同一个函数; (2)g(x)?|x|,而f(x)?x,表达式不相同,因此f（x）与g（x）也不能表示同一个函数; (3)f(x)与g(x)的表达式不同,不能表示同一个函数; (4)表示同一个函数.
8. 解：设另一个圆的半径为y，则
?x?y?22?1?2?2x?x?2y?y?2
?f(x)??(x2?y2)??[x2?(2?2?x)2]
2?22)?(3?22)]， 2， ?S2??[2x2?2(2?2)x?(6?42)]??[2(x?∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，
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∴函数的定义域为{x|3?2?x?1}.
22?3?2?231313(3?22) ?[?2,],又f(?2)?f()?(3?22),?Smax?2222222
一次函数和二次函数
一、知识梳理
1.函数y?kx?b(k?0)叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ； （1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；
（2）一次函数y?kx?b(k?0)中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距； k?0时，函数是增函数，
k?0时，函数是减函数；
（3）b?0时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；b?0时，它既不是奇函数，也不是偶函数； 4.函数y?ax?bx?c(a?0)叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线； （1）当b?0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；
（2）当a?0时，抛物线y?ax2?bx?c开口向上，二次函数的单调减区间为???,?2b?，单调增区间为?2a??4ac?b2?b,???； ?,???，值域为??4a?2a?（3）当a?0时，抛物线y?ax2?bx?c开口向下，二次函数的单调增区间为???,?b?，单调减区间为2a???4ac?b2??b??,?,???，值域为??； ??4a??2a?二、方法归纳
1.二次函数的三种表示形式
?? 提 示 二次函数图象的
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对称轴与x轴的交点（1）一般式：y?ax2?bx?c(a?0)．
（2）顶点式：y?a(x?m)2?h(a?0)，其中 (m,h)为抛物线的顶点坐标． （3）两根式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
2.利用配方法求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴方程为：
是函数单调区间的界，在x轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等． x＝－
b． 2a3.若二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)对应方程f(x)＝0的两根为x1、x2，那么函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)图象的对称轴方程为：x＝
x1?x2b＝－．
2a24.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．
三、典型例题精讲
［例1］二次函数y?ax2?bx和反比例函数y? 2a?0，方程? ． 解析：由题义Ａ． Ｂ． ax?bx＝0的两根为Ｃ． x1?0、x2?Ｄ．y y y b
在同一坐标系中的图象大致是（ ） x
y O x O x O x O x ba观察备选答案ABC中反比例函数y?答案A中a?0，x2??b
的图象，知b＞0， x
bb＞0，矛盾；答案B中a?0，x2??＞0，正好，故选B． aa【技巧提示】 根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等． 又例：已知二次函数f(x)?ax?bx?3a?b为偶函数，其定义域为?a?1,2a? ，则函数的值域为 ．
2解析：由题意，a≠0，b＝0，且2a??(a?1)，∴ a＝ 函数f(x)?1， 312x?1的值域为?1,???． 3［例2］对于每一个x，设f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
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解析： 这是教材中的一道练习题．f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4三个函数中的最小值．于是f(x)的解析式为
1?4x?1,x??3?12?f(x)??x?2,?x?，
33???2x?4,x?2?3?
y y?4x?1 y?x?2 y??2x?4 x 28f(x)的最大值为f()＝．
33
O 【技巧提示】 理解f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4 三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出f(x)的解析式是关键．
又例：对于任意x?R，函数f?x?表示?x?3，是_ _（答案：2）
［例3］二次函数f?x?满足f?x?2??f??x?2?，又f?0??3，f?2??1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是( )
A. ?0,??? B. ?2,??? C. ?0,2? D. [2,4] 解析：由f?x?2??f??x?2? 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝2对称， 又f?0??3，f?2??1，图象如下， 由?0,m?上有最大值3，最小值1， 可知m的取值范围是?2,4?，故选D． 【技巧提示】 函数f?x?满足
3 1 O 2 x y 31x?，x2?4x?3中的较大者，则f?x?的最小值22f?a?x??f?a?x?，则y?f(x)的
图象关于直线 x＝a对称，
其中f?a?x??f?a?x?也可用f?2a?x??f?x?代替；数形结合可以使解法更加便捷．
又例：已知二次函数y?f(x)满足f(6?x)?f(x) (x∈R)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于
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( )
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
解析：由f(x)?f(6?x) (x∈R) 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝3对称，应有＝6. 答案：C
再例：函数y?x2?3x?4的定义域为?0,m?，值域为??解析：函数f(x)?x?3x?4?(x?)?2x1?x2?3， x1＋x22?25?,?4?，则实数m的取值范围是 ?4?32225， 425， 4又f(0)?f(3)??4，f(x)的最小值为 ?∴ 实数m的取值范围是?,3?．
2?3???［例4］抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于点(?,0),(?,0)两点且?2??2?17.求k的值. 解析： 由题意 ?,? 是方程x2?(k?1)x?3k?2?0的两根，
∵ ????k?1,????3k?2，又?2??2?17 即(???)2?2???17，
∴ (k?1)2?2(?3k?2)?17 ， 解得k1?2，k2??6． 当k1?2时△＞0，当k2??6时△＜0（舍去） ∴k?2．
【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数f(x)所对应的方程f(x)＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基础知识．
又例： 如果二次函数y?kx?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
27 47 C．k≥－
4 A．k＞－
7 且k≠0 47 D．k＞－ 且k≠0
4 B．k≥－
解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“k≠0”；“图象和x轴有交点”等价于△≥0． 答案：B
［例5］已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(?1?x)＝f(?1?x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．
解析：由f(1)＝3，且函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，先求f(x)，再由对称性求g(x)．
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