1?a???2a?b?b?1?2解得? ?f(x?1)?f(x)?x?1,???a?b?1?b?1??2?f(x)?121111x?x?(x?)2?的值域为??1,????. ?222288??方法探究 已知函数的类型，可以使用待定系数法来求函数的表达式，而对于二次函数求最值的问题一般使用配方法进行求值域. 【拓展·变式】
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），f1)(2?，则f(?3)等于（ ）A．2
B．3
C．6
D．9
题型二 实际应用题
典例6．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的
车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【研析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
3600?3000 =12，所以这时租出了88辆车.
50f（x）=（100－
x?3000x?3000）（x－150）－×50，
50502
1x2整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）+307050.
5050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
思维指南 根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式
后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制.本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.该题典型代表高考的方向.
【拓展·变式】
6．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数.
题型三 易错辨析题
2典例7．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(x)的定义域;
(2)已知函数(3)已知函数
f(2x?1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域; f(x?1)的定义域为[?2,3],求f(2x2?2)的定义域.
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【研析】(1)?为{x|?1?(2)?f(x)的定义域为(0,1),?要使f(x2)有意义,需使0?x2?1,即?1?x?0或0?x?1,?f(x2)的定义域
x?0或0?x?1}.
f(2x?1)的定义域为(0,1),即其自变量x的取值范围是0?x?1,若令t?2x?1则1?t?3即关于t的函数f(t)的
?3},从而函数f(x)的定义域为{x|1?x?3}.
定义域为{t|1?t(3)?f(x?1)的定义域为[?2,3],即其自变量x的取值范围是?2?x?3,若令t?x?1,则?1?t?4,即关于t的函数f(t)的定义域为{t|?1?t?4},从而要使函数f(2x2?2)有意义,只需?1?2x2?2?4,解得?3?x??22或?x?3. 22?f(2x2?2)的定义域为{x|?3?x??22或?x?3}.
2222方法探究(1)求函数的定义域就是求自变量x的取值范围,求f(x)的定义域求是求x的取值范围,而不是求x的取值范围,这里x与
x2的地位相同,所满足的条件应该是一样的;(2)应由0?x?1确定出2x?1的取值范围,即为函数f(x)的定义域;(3)应由
?2?x?3确定出x?1的取值范围,进行求出函数f(2x2?2)的定义域,它是(1)与(2)的综合.
【拓展·变式】
7．已知函数f（x）=
3x?1的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
ax2?ax?3C．－12＜a＜0
D．a≤
3A．a＞
1 3 B．－12＜a≤0
1 3
▲ 创新思维探究
题型一 开放探究题
典例8.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P?1000(x?t?8)(x?8,t?0),Q?50040?(x?8)2(8?x?14)
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? 【研析】(1)依题设有
1000(x?t?8)?50040?(x?8)2化简得5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0.
当判别式△=800－16t2≥0时,可得由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:
x?8?42t?50?t255
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?0?t?50?(1)?428?8?t?50?t2?14?55??0?t?50?(2)?4228?8?t?50?t?14?55?
解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为 42x?8?t?50?t255 函数的定义域为[0，10]
(2)为使x≤10,应有
8?42t?50?t2?1055
化简得t2+4t－5≥0.
解得t≥1或t≤－5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.
交流探讨 高考对函数问题的考查主要集中在函数的应用与性质的考查,在处理时,由于定义域问题具有较强的隐蔽性,往往会成为解决问题成败的关键,因此在解决问题时应树立“定义域优先”的观点.
【拓展·变式】
8．已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域
题型二 课标创新题
典例9.已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
【研析】?22xy?0??x?0x?04或,因为4x2?9y2?36,故y2?x2?4 y?0y?09??x?0?x?0??或?x??3. ?x?3?42?4x?4?0x?4?0???9?9?42?x?4(x?3)??9 ?y?f(x)???4x2?4(x??3)??9因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞)． 且不难得到其值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
理念链接本例从某种程度上揭示了函数与方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程转化为函数解析式,
则需要一定的条件． 【拓展·变式】
9．已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x?y)?g(x)g(y)?f(x)f(y)；f(?1)??1，f(0)?0，f(1)?1，求
g(0),g(1),g(2)的值.
▲ 高考思维探究
高考导航函数是中学数学的核心内容,是高考的重点,也是历年高考的必考内容.近几年来的高考试题加大了对函数基本概念的
考查力度,特别是对函数的定义域问题,几乎每年都会出现.
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典例10.（2008年全国I卷文理）函数y?x(x?1)?x的定义域是（ ）
A．{x|x?0} B．{x|x?1} C．{x|x?1}?{0} D．{x|0?x?1}
【研析】要使?x(x?1)?0解得x(x?1)有意义必需有x(x?1)?0，而若使x有意义，必需有x?0，从而?x?0??x?0或x?1，所以函数y?x(x?1)?x的定义域是{x|x?1}?{0}，从而选C. ??x?0品思感悟 掌握函数的定义域问题的解决思路,是学好函数的关键.在学习的过程中,应时刻注意定义域与所研究函数的关系,注意定义域在解决实际问题中的作用. 【拓展·变式】
10.若函数y?f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)?f(2x)的定义域是（ ）
x?1A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)?(1,4] D．(0,1)
?优化考题新演练
一、理解与应用 1．下列集合A．C．
A到集合B的对应f是函数的是 （ ）
：
A???1,0,1?,B???1,0,1?,fA?Z,B?Q,f：
A中的数平方；B．A??0,1?,B???1,0,1?,f：
：
A中的数开方；
A中的数取倒数；D．A?R,B?R?,f B．y?A中的数取绝对值
（ ）
2．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．y?1,y?x xx?1?x?1,y?x2?1
C ．y?x,y?3x3
3．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=
A．
D． y?|x|,y?(x)2
（ ） D．
C．2p?3q
p，f(3)?q那么f(72)等于
p?q B．3p?2q
p3?q2
（ ）
4. 已知函数y?1?x的定义域为 2x2?3x?2 A．(??,1]
B．(??,2] D． (??,?)?(?
C ．(??,?)?(?二、拓展与创新
5．设定义在R上的函数6．已知
121,1] 2121,1] 2f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99??
f(x)的定义域为[?1,2)，则f(|x|)的定义域为
三、综合与探究
7．判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
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（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
x2
（3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )= | x | ；g ( x ) =
x2
8．如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切， 记其中一个圆的半径为x，两圆的面积之和为S，将S表示为x的函数， 求函数S
?f(x)的解析式、定义域和最大值.
答案与解析研读
【拓展·变式】
１．C 解析：因为由函数的定义可知，当a不属于函数是唯一的，否则就不满足函数的定义．
y?f(x)的定义域时，无交点；当属于函数y?f(x)的定义域时必有f(a)2．解：因为|x?1|?|x?1|的函数值一定大于0，且x?1无论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R． 3．解: (1)令1?2x?t，t?0，x?1(1?t2)，原式等于1(1?t2)?t??1(t?1)2?1，故y?1。
222（2）．把原式化为以x为未知数的方程(y?2)x2当
?(y?2)x?y?3?0，
3y?2时，??(y?2)2?4(y?2)(y?3)?0，得2?y?10；
10]. 3当
y?2时，方程无解；所以函数的值域为(2,4．D 解析:A,B,C三个函数的定义域不相同.
5．C 解析:令x?y?0得f(0)?2f(0),从而得f(0)?0,再令x?1,y??1得f(0)?f(1)?f(?1)?2,从而f(?1)?0.再令x?y??1,
得f(?2)?2,再令x??1,y??2,得
f(?3)?f(?1)?f(?2)?2?(?1)?(?2)=0+2+4=6.
6.解：由于长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米，
44米，又因为池壁的造价为每平方米100元，而池壁的面积为2（2x＋2·）xx4平方米，因此池壁的总造价为100·2（2x＋2·）， 而池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，
x44因此池底的总造价为1200元，故蓄水池的总造价为：y＝100·2（2x＋2·）＋1200＝400·（x＋）＋1200（x
xx设底面一边长为x米，则另一边长为＞0）.
?a?0,7．解: B 提示：由a=0或?可得－12＜a≤0.
2Δ?a?4a?(?3)?0,?8.解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S=
1lr=（5－r）r=－r2+5r 2
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