包括相对性位置的表述：超市在邮局的东偏南30°方向上，那么邮局在超市的（ ）方向。通过定观测点，画十字，指示方向，确定另一个建筑物的位置；反之可以做同样的步骤，但许多孩子发现：当两句话反过来说时，其方向也相反了，所以聪明的孩子在解决这样的相对性问题时，不再需要画图，而是进行反之推理即可。
◆资源链接
1.A点是学校的教学楼，B点是体育馆，则体育馆在教学楼的南偏西75°方向上，A点看B点是 方向。
2. 小明家在小东家南偏西40°方向500米处，请你用画一画平面图。 ◆大样本问卷调查结果：错误率 18.9%
◆应用校验阶段参与教师：俞建栋、赵国明、钱媛丽、裘迪波、童 栩、王慧娣、唐彩彩、毛敏华、赵华英、寿金利
◆应用校验阶段大样本问卷调查结果：课题组成员班级错误率13.7% 非课题组成员班级错误率29.1%
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（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 49 第二单元 课堂自编练习 位置与方向体会位置关系的相对性 错误率 20% 采集者 基本 题 综合 型 拓展 马建平 √ 采集 学校 课时 绍兴县华舍蜀阜小学 √ 课 型 新授课 练习课 复习课 √ 时 单元 机 总复习 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简述 学生从初步掌握了位置的相对性，但以谁为观察点，往往容易出错，尤其是新课阶段更是错误的高发期。
◆典型错题：
小明家在小丽家的（ ），小丽家在小明家的（ ）
错误答案：西偏南35° 东偏北35° ◆原因分析：
以谁为“标准”，学生混淆了。学生对于掌握两个地点方向的相对性上，应该说有所掌握，但究竟是以谁为“标准”，也就是观察点的选择上，再加上对方位掌握不够明确，学生思维发生了混乱。 ◆教学建议：
在教学中要“用教材教”而不是“教教材”，不能死扣教科书。而是应该采用灵活多样的手段，给予学生更多的实践机会，通过实践活动让学生掌握和理解“方向的相对性”，并在实践中感悟观察点的不同，描述的位置也不同。
可以在以谁为参照点的轴上标好方向，如小明家为参照点，那么应该在图上标上西和南，那么小丽应该在小明家西偏南35°的方向上，同样如果以小丽家为参照点，应在图上标上北和东，那么小明应该在小丽家的东偏北35°的方向上。
◆资源链接：
◆大样本问卷调查结果：错误率20%
◆应用校验阶段参与教师：俞建栋、赵国明、钱媛丽、裘迪波、童 栩、王慧娣、唐彩彩、毛敏华、赵华英、寿金利
◆应用校验阶段大样本问卷调查结果：课题组成员班级错误率18.6% 非课题组成员班级错误率29.5%
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（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 34 错误率 70.5% 采集者 基本 题 综合 型 拓展 何佳佳 √ 书本第三单元 书本p35做一做（2） 乘法结合律 采集 学校 课时 鹤池苑小学 √ 课 型 新授课 练习课 复习课 √ 时 单元 机 总复习 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 解决这个题目需要运用的知识是乘法结合律，学生在练习这题时，刚刚学习理解什么叫乘法结合律，什么时候需要运用乘法结合律之后的一个初步练习，在这个课时之前学习了加法交换律，加法结合律，乘法交换律这些知识，正在逐步树立简便计算的运算定律并开始熟练运用各类简便计算的方法，后面还需要进行这4种运算定律的分辨和联系及混合运用的教学。 教学简述 ◆典型错题：
题目：每瓶2元，买这些矿泉水，一共要花多少钱？（图面上有五箱，每箱24瓶） 典型错例：学生列式为24×5×2后直接进行计算。 ◆原因分析：
教师层面：我觉得主要是在之前教学乘法交换律中教师过于强调25和4乘，125和8乘，学生对于25和4印象特别深刻，教师的一再强调导致学生机械地只看数字，没有进行全面地分析。
学生层面：收到了25乘以4常用惯例的知识负迁移，机械地形成了碰到题目就找25乘以4。 教材上：其实教材给学生的信息非常有层次性，先是2元，再是24瓶，而后通过数可以得到5箱，如果稍加细心分析可以列式为：2×5×24或者24×（5×2） ◆教学建议：
1．从教学引入和具体教学内容的教学都要始终围绕情境教学进行，不要单一机械地算式解答练习。多给学生接触解决问题的时机。
2．给学生创设的情境练习不要过于单一，不要过于围绕25乘以4和125乘以8，还可以加入一些24乘以5、66乘以5等非典型简算数据的情况。 ◆资源链接
◆大样本问卷调查结果：错误率70.5%
◆应用校验阶段参与教师：俞建栋、赵国明、钱媛丽、裘迪波、童 栩、王慧娣、唐彩彩、毛敏华、赵华英、寿金利
◆应用校验阶段大样本问卷调查结果：课题组成员班级错误率6.9% 非课题组成员班级错误率10%
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（四）年级数学第（八）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 33 错误率 18.2% 采集者 基本 题 型 综合 拓展 韩洪刚 √ 采集 学校 上虞华维文澜小学 新授课 练习课 复习课 √ 第3单元 运算定律和简便计算 单元过关检测 乘法运算定律 课时 时 机 单元 总复习 课 √ 型 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这是第三单元“运算定律和简便计算”过关检测中的一道简算题。学生之前已掌握了混合运算的运算顺序，已学过用乘法分配律和乘法结合律，并能用这些运算定律进行简算。 教学简述 ◆典型错题（写清错题与错解）
题目：怎样简便怎样算25×（153×4） 学生错解： 25×（153×4）
=（25×153）×（25×4） =3825×100 =382500
◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。这类错误的归因：一是学生方面，对两种运算定律混淆；二是教师方面，缺少对这两种运算定律的比较和巩固。 ◆教学建议
1.明确错因。面对这些学生，教师不能简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，可以通过结合具体的情境让学生加以理解，也可以通过让学生对这两条运算定律进行比较，深入地理解乘法结合律及乘法分配律意义，自主建构起知识体系。
2.加强比较。教师可让学生用两种不同的思路加以练习，如25×（153×4）与25×（153+4），以区别两种运算定律的不同之处及其运用后所产生不同的简便程度，这样可以加深学生对这两种运算定律的理解。
3．要经常在做简便运算的时候提醒，一定要看清数字和符号的特征，培养自己的数感，才能做好。否则“加”“减”“乘”乱用，最后只能造成错误连篇的后果。遇到不会的要冷静下来思考，实在想不起来可以先放一放，也许过段时间就会突然发现会做了。 ◆资源链接
1.重温定律：乘法结合律a×(b×c)=a×b×c；乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c 2.比较练习：25×（153×4）和25×（153+4）
3.乘法结合律教学片段http://www.xxkt.cn/shuxue/2008/30455.html 乘法分配率教学片段http://www.xxkt.cn/shuxue/2008/29983.html ◆大样本问卷调查结果：错误率18.2%
◆应用校验阶段参与教师：俞建栋、赵国明、钱媛丽、裘迪波、童 栩、王慧娣、唐彩彩、毛敏华、赵华英、寿金利
◆应用校验阶段大样本问卷调查结果：课题组成员班级错误率2.4% 非课题组成员班级错误率4.8%
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（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 37 错误率 32.4% 采集者 基本 题 型 综合 拓展 刘云娟 √ 采集 学校 绍兴市昌安实验学校 √ 新授课 练习课 复习课 √ 第三单元运算定律与简便计算 课堂练习本 乘除法中的简便计算 课时 时 机 单元 总复习 课 型 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这是第三单元的学习内容，学生已掌握加法、乘法的几个定律和学了加减、连减、连除计算，在学习了课本例4的乘除法运算常见的简便方法之后，在进行课堂练习本中的练习出现的一道题目。 教学简述 ◆典型错题：
错解①25×64×125
错解②25×64×125 错解③25×64×125 错解④25×64×125
=25×8×8×125
=25×60+4×125 =25×8×8×125 =25×8+125×8 =100×（8×125）
=1500+500 =200+1000 =100×1000 =100+1000
=100000 =2000 =1200 =1100 ◆原因分析
1. 在乘法计算中对于一些相乘可以得到整十、整百、整千的特殊算式2×5、25×4、125×8的计算结果不够熟练或计算不够仔细，导致计算错误。
2. 由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算的理解还不够透彻。而且在乘法计算时一个数乘以两位数可以转化成连续乘以两个一位数以达到简便计算的理解不到位，乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。 ◆教学建议
1．加强对一些相乘可以得到整十、整百、整千的特殊算式2×5、25×4、125×8的计算的口算练习和记忆，同时要求学生看清题目。
2.加强拆分专项练习25×12=25×4×3、25×32=25×4×8等，另外，加强与乘法分配律的对比练习：25×88,25×（8+80），让学生进一步理解乘法分配的含义和学会对此类题目的正确转化。
3、学生对于乘法结合律和分配律的一个最容易混淆的地方就是乘、加符号的区别和理解，学生难以区分何时用加号，何时用乘号，特别是当一个数拆开后或者本来就有四个数的运算时，如25×64×125=25×60+4×125，25×40×25×4=25×(40+4)，20×55=20×50×5，学生的感觉上，这里应该是相等的；如这样的题目就有一些学生往往会判断打对：（80＋4）×25=80×25＋4，7×48＋7×52=7×（48×52），25×(4×8)=25×4+25×8。所以教学中我们要注意引导学生区分与辨别，通过观察、比较、计算、验证理解两个算式的不同之处。
4、括号的运用不自觉，如25×64×125=25×8×8×125，有些孩子就不会在两个数结合相乘时用上括号。另外容易把乘法分配律的逆运用，理解为乘法结合律，如90×46+10×46=(90+10) ×46一些学生就固执地认为这是运用了（乘法结合律）。其实乘法分配律顺向是一个由合到分的过程，反之是一个由分到合的过程125×88=125×80+125×8，56×17+43×17+17=（56+43+1）×17，可以引导学生这样表述：88个125可以分解成80个125和8个125,56个17加上43个17再加1个17，正好是100个17等等。如123×99=123×100—123,156×101-156=156×100，前者是合到分、后者是分到合的过程。
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