IV.2.2 計數原理：加法原理、乘法原理、取捨原理
? 加法原理：假設A與B是不相交的有限集合，則 |A ? B| = |A| + |B|。 ? 介紹A, B為兩集合時，乘積集合A ? B的定義。乘法原理：|A ? B| = |A|?|B| ? 取捨原理只考慮最多三個集合間的取捨，令A, B, C為三個有限集合，則 (1) |A ? B| = |A| + |B| ? |A ? B|
(2) |A ? B ? C| = |A| + |B| + |C| ? |A ? B| ? |B ? C| ? |C ? A| + |A ? B ? C| 另外可用文氏圖說明取捨原理。 IV.2.3 排列
IV.2.3.1 直線排列、重複排列 ? 直線排列：
1. n個相異物件的排列數為階乘數n!。
（球與籃子模式：把編號是1到n的球，放入編號是1到n的籃子裡，每個籃子恰放一個球，放法總數為階乘數n!。）
2. 從n個元素的集合中，每次取出k個相異元素做排列，則總數為排列數Pkn?n!。
(n?k)!（球與籃子模式：把編號是1到k的球，放入編號是1到n的籃子裡，每個籃子最多放一個球，放法總數為排列數Pkn。）
? 重複排列：從n個元素的集合中，每次取出k個元素做排列，允許重複取出同樣的
元素，則總數為nk。
（球與籃子模式：把編號是1到k的球，放入編號是1到n的籃子裡，每個籃子裡的球數沒有限制，放法總數為nk。）
重複排列可看做是乘法原理的推廣，例如投銅板，出現正面記為1，出現反面記為0。若
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令集合A={0,1}，則投n次所有可能結果的集合為An = A ? A ? . . . ? A（共乘n次），其元素個數為2n。 IV.2.4 組合
IV.2.4.1 組合、重複組合
? 組合：從n個元素的集合中每次取出k個相異元素，不同取法的總數是組合數
?n?n!????k?k!(n?k)!。 ??（球與籃子模式：把k個沒有編號且不可分辨差異的球，放入編號是1到n的籃子
?n?裡，每個籃子最多放一個球，放法總數為組合數??k??。）
???n?（當代組合數學日漸以??k??為組合數的標準符號，建議高中課本中以此符號，取代
??C(n,k)或Ckn。）
?n?n!由組合數的基本公式????k?k!(n?k)!，經簡單計算得出的式子，盡量賦予選取物件式
??的組合解釋。
? 重複組合：從n個元素的集合中每次取出k個元素，允許重複取出同樣的元素，則
?n?k?1?不同取法的總數為重複組合數??k??。
??（球與籃子模式：把k個沒有編號且不可分辨差異的球，放入編號是1到n的籃子
?n?k?1?裡，每個籃子裡的球數沒有限制，放法總數為重複組合數??k??。）
??對於給定的n與k，方程x1 + x2 + ? ? ? + xn = k的非負整數解總數也是重複組合數
?n?k?1???k??。 ??（建議重複組合數不需再引進符號H(n,k)或Hkn來表示。） IV.2.5 二項式定理
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IV.2.5.1 以組合概念導出二項式定理
利用組合的概念推導出 (x + y)n 展開式中一般項的形式。
IV.2.5.2 巴斯卡三角
利用二項式定理所推導的各種公式，盡量賦予選取物件式的，或者計數棋盤上路徑的解釋，以增加學生對於組合的直觀認識。
三、機率
1.樣本空間與事件
藉由集合來說明事件之未發生，幾個事件的同時發生、至少有一件發生等。 ? 班上同學有人生日相同的機率
? 樣本空間為投銅板五次的所有可能，事件為「正面出現的次數為3」
2.機率的定義與性質
藉由生活中的實例，以說明機率函數要滿足的基本條件。並證明機率函數的一些性質。
3.條件機率與貝氏定理
3.1 獨立事件、條件機率、貝氏定理
4.隨機變數 4.1機率質量函數
? 班上同學的學測級分相對次數圖(X軸為學測級分，Y軸為該成績之相對次數) ? 投銅板三次，正面出現的機率質量函數圖(X軸為正面出現的次數(X=0,1,2,3)，Y軸
為該次數出現的機率)
4.2期望值
對一隨機變數，常想粗略地知道其值究竟多大，期望值就是常被拿來扮演這種以一單一的值，來代表一隨機現象中變數大小的角色。
4.3變異數
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期望值像是隨機變數之一核心，隨機變數之可能值，則散佈在期望值的左右。變異數之正的平方根，稱為標準離差，便是用來表示隨機變數之可能值，與其期望值偏離之大小。
5.二項分布
5.1重複試驗、二項分布
說明此分布之由來，且強調處處可見。給出其機率密度函數，並以二項式定理，驗證此確為一機率密度函數。
?n?kn?k? 假設每次買彩券中獎的機率為p，買n次彩券中獎k次的機率：???p??1?p?
?k?
5.2二項分布之性質
繪出二項分布機率密度函數之圖形，求出期望值np及變異數np?1?p?。
四、統計
1.數據分析
1.1分析一維數據：平均數與標準差、數據的標準化
1?n?? 平均數：????xk?，標準差：??n?k?1?
1.2分析二維數據：散佈圖、相關係數
2 抽樣與統計推論
2.1抽樣方法：簡單隨機抽樣
xi??1?n2?x?x??。將數據轉為 x???iki??n??k?1?說明常要收集資料以對隨機現象做推論或預測。並說明何時要普查，何時要抽樣調查，並介紹隨機抽樣法。
2.2 介紹及使用亂數表
介紹亂數表之使用，並說明何時可使用 2.3二項分布與常態分布
介紹常態分布及其圖形。對二項分布，說明當實驗次數較多，可以常態分布做為其近似。
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2.4信賴區間與信心水準的解讀
對一給定的p及n，以亂數表模擬投擲出現正面機率為p之銅板n次，介紹信心水準的意義。對一給定的信心水準，給出p之信賴區間公式。並說明在相同的n、p下，若全班每位同學皆給一信賴區間，是否大多數的同學，所得之信賴區間會涵蓋p。
附錄：最小平方法（先將數據標準化）
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