2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
专题3：面积问题
1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积． 【答案】解：（1）作图如下：
能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。 （2）连接BD，交AC于E，
∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设CE=x，则AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴
由
勾
股
定
理
得
：
2BE2?32?x2?22?（4?x）
解得：x?21。 82315?21?∴BE?32????。
8?8?1315315∴四边形ABCD的面积是2??AC?BE?4?。 ?282315答：四边形ABCD的面积是。
2【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。
【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；
（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，
根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。
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332. （2012广东广州14分）如图，抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点（点A在
84点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
3333【答案】解：（1）在y=?x2?x+3中，令y=0，即?x2?x+3=0，解得x1=﹣4，x2=2。
8484 ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
33（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。
8433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。
8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。
22在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。
118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的
5设△ACD中AC边上的高为h，则有
直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=
18， 518CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b，
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将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
?3??4k+b=0?k=，解得??4。
b=3???b=3∴直线AC解析式为y?3x?3。 49个长度单位）而形成2直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（
的，
3933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。
4244927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。
44∴直线L1的解析式为y?（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切
线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），
⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=33?，
5539FN=MN?cos∠MFE=33?。
554412则ON=。∴M点坐标为（，）。
555412直线l过M（，），E（4，0），
55ME=52?32?4，sin∠MFE=
123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。
???b=3?4k+b=03∴直线l的解析式为y=?x+3。
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3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。
433综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。
44【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，
平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含
义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
3. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2
）、D（0，3
），
射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
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（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。
（2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得
EFPEDC311==??，∴EF=（3+x）， OQPODO3333此时重叠部分是梯形，其面积为：
14343S?S梯形EFQO?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43 233当3＜x≤5时，如图2，
1S?S梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO??AH?AQ2
43331333 ?x?43?x?。?x?3?2=?x2?32232当5＜x≤9时，如图3，
12S?（BE?OA）?OC?3（12?x）23
23 =?x?123。3当x＞9时，如图4，
11183543。 S?OA?AH??6?=22xx综上所述，S与x的函数关系式为：
?43x?43?0?x?3??3??321333x?x??3