2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
（2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。
∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。 ∵AB=3
，
∴
在
Rt△ABE
中
，
A?E?A在
32B?，32?c3，
o?2s1?3，
20AE=
3?3?，
BRt△ADE中∵∠DAE=30°
332∴AD?AE?cos30??3339??。 224，
②∵∠EAO=∠AEO=30°
∴?AOE?180???EAO??AEO?1800?300?300?1200。
∵OA=OB，∴S?AOE?S?BOE?∴S阴影?S扇形AOE?S?AOE21 S?ABE。 21?S扇形AOE? S?ABE
2?3?120????? ?2? ?1?1?33?3 ?3??93。 ?3602222416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO， 再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。
（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定
义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知
S?AOE?S?1?BOE S?2求 EAB出△AOE的面积，由S阴影?S扇形AOE?S?AOE即可得出结论。
14. （2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
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（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
【答案】解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90得到的，
且A（0，1），B（2，0），O（0，0） ∴A?(?1, 0), B?(0, 2)。
设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)， ∵抛物线经过点A′、B′、B，
0
?0?a?b?c?a??1??∴?2?c，解之得?b?1。 ?0?4a?2b?c?c?2??∴满足条件的抛物线的解析式为y??x2?x?2。 （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P(x,y)，则x?0, y?0，P点坐标满足y??x2?x?2。 连接PB，PO，PB′。
∴S四边形PB?A?B ?S?B?OA? ?S?PB?O ?S?POB
111??1?2+?2?x+?2?y 222?x?(?x2?x?2)?1??x2?2x?3。
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，
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则?x2?2x?3?4，即x2?2x?1?0，解之得x?1，此时
y??12?1?2?。2
∴P（1，2）。
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的
4倍。
（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有：
①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行； ④等腰梯形两腰相等。
答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。
【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。
（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O
面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰
梯形性质得出答案即可。
15. （2012山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标xOy中，一次函数y?kx?b?k?0?的图象与反比例函数y?m?m?0?的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，x点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOC的面积．
【答案】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，
∵sin∠AOE=
∴sin∠AOE=
4． 545，OA=5，
ADAD4??。 OA55第 28 页 共 38 页
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∴AD=4，∴DO=
AO2－AD2?52－42?3。
而点A在第二象限，∴点A的坐标为（－3，4）。
m，得m=－12， x12∴所求的反比例函数的解析式为y??。
x12将B（6，n）代入y??，得n =－2。
x将A（－3，4）代入y?将A（－3，4）和B（6，－2）分别代入y?kx?b，得
2???3k?b?4?k??，解得?3。 ?6k?b??2???b?22∴所求的一次函数的解析式为y??x?2。
322（2）在y??x?2中，令y?0，即?x?2?0，解得x?3。
33∴C点坐标为（0，3），即OC=3， ∴S?AOC?11?AD?OC??4?3?6。 22【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。
4，OA=5，根据正弦的定义可求出5mAD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（－3，4），把A（－3，4）代入y?，即
x【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE=
可确定反比例函数的解析式；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y?kx?b，即可确定一次函数函数的解析式。
（2）先令y?0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算
△AOC的面积即可。
16. （2012浙江金华12分）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝
，AC与y轴交于点E．
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(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝103∴点E(0，234。 34??234，
3510设直线AC的函数解析式为y＝kx＋234，有34k?234?0，解
3得：k＝?3。 5∴直线AC的函数解析式为y＝?x?234。 (2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝
35EG3?， GO5设EG＝3t，OG＝5t，OE=EG2+OG2=34t，∴234=34t，得t＝2。
11∴EG＝6，OG＝10。∴S?OEG＝?OG?EG=?10?6=30/
22(3) 存在。
①当点Q在AC上时，点Q即为点G， 如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴， 由于点P1在直线AC上，当x＝10时， y＝??10?234?234?6 ∴点P1(10，234?6)。
②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ
的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，
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