2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
k2kaa2k代入y?得x=，∴A点坐标为（，），
x22aa1a2k4又∵S△OAC=2，∴3（2a－）3=2，∴k=。
223a4∴双曲线的解析式为y?。
3x把y=
【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y?得到另一支在第三象限。
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y?k 的一支在第一象限，则k＞0，xk可得到Ax点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。
OD1k），由?得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C
OC2ak2k2ka2k点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 y?可确定A点坐标为（，），
x2aaa （3）设D点坐标为（a，
根据三角形面积公式由S△OAC=2列式求解即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式。 20. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a＜0）与双曲线y=2
k相交x于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y=∴k=﹣4。
∴双曲线的解析式为y=?k上， x4。 x∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1。 ∴抛物线y=ax+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。
2
?4a?2b+c=2?a=?1??∴?a+b+c=?2，解得：?b=?3。
?c=0?c=0??∴抛物线的解析式为y??x2?3x。
?3?9（2）∵抛物线的解析式为y???x+?+，
?2?42393∴顶点E（?，，对称轴为x=?。 ）
224∵B（1，﹣4），∴﹣x﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4。 ∴C（﹣4，﹣4）。 ∴S△ABC=
2
13536=15， 2由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=
﹣2x﹣2。
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为
3（?，1）。
2951515 ?1?。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=333=。
2484415（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15。
8∴EF=
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∴当点D与点C重合时，显然满足条件，
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD， 其直线解析式为y=﹣2x﹣12。
令﹣2x﹣12=﹣x﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）。 当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件。 综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形的面积，平行的性质。
【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。
（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。
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