2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
?9a?3b?c?0?a?1?? ，解得：?b??4。 ?c?3?a?b?c?0?c?3??∴抛物线的解析式为y=x-4x+3。
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，
若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则
2AOOB， ?ADOP1∴DP1=AD=4。∴P1(-1,4)。
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，
连接DP2，
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形。
由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。 （3）不存在。理由如下：
如图2设点E (x, y)，则
1S?ADE??AD?|y|?2|y|
2①当P1(－1，4)时， S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE
S四边形AP1CE?S?ACP1?S?ACE 11??2?4??2?|y|?4?y22 ∴2y=4+y。 ∴y=4。
∵点E在x轴下方 ∴y=-4。代入得： x-4x+3=-4,即
2x2?4x?7?0
∵△=(－4)－437=＋12<0，∴此方程无解。
∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积
等于四边形APCE
的面积。
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2
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②当P2（1，2）时， S四边形AP2CE=SDACP2+SDACE=2+y
∴2y=2+y。∴y=2。
∵点E在x轴下方，∴y=-2。代入得：即 x2?4x?5?0 x2-4x+3=-2，∵△=(－4)－435=－4<0，∴此方程无解。
∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积
等于四边形APCE
的面积。
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于
四边形APCE
的面积。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。 （3）由（2）的两解分别作出判断。
9. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
2
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
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∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面积为3，∴AB=3。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。 ∴
S?BGEBE2 =()。 S?ABEAE2
2
2
又∵BE=1，∴AE=AB+BE=3+1=4。 ∴S?BGE=133。 ?S????ABE2428AEBE2（3）解：没有变化。理由如下：
∵AB=3，BE=1，∴tan?BAE?13?3。∴∠BAE=30°。 3∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。 设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。 ∴S四边形GHE?B??S?AB?E??S?AGH?S?ABE?S?ABG?S?BGE。 ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE
中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。
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（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。
10. （2012湖南张家界12分）如图，抛物线y??x2?23x?2与x轴交于C．A两点，3与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点． （1）分别求出点A．点B的坐标； （2）求直线AB的解析式； （3）若反比例函数y?k的图象过点D，求k值； x（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动
1个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？2若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令y=0，即?x2? ∴C（?323x?2?0，解得x1=?，x2=23。
333，0）、A（23，0）。 3令x=0，得y=2。∴B（0，2）。 ∴A（23，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。
又∵点A（23，0）在直线上，∴0=k123+2，解得k1=?∴直线AB的解析式为y=?3。 33x+2。 3第 19 页 共 38 页
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（3）由A（23，0）、B（0，2）得：OA=23，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，
∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=23。
∴D点的横坐标为OD2cos60=3，纵坐标为OD2sin60=3。 ∴D（3，3）。 ∵y?0
0
kk过点D，∴3?，即k=33。 x3（4）存在。
∵AP=t，AQ=
11t，P到x轴的距离：AP?sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=23﹣221t， 211113132∴S?OPQ?（?23?t）?t??t2?t??（t?23）?。
2228282?t?4 ?1?依题意， ? t?23， 得0＜t≤4。
?2t>0?? ∴当t=23时，S有最大值为
3。 2【考点】二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含30角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。
【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）。
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式。
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易
判断出△OAB是含30角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的值，应用三角函数即可得到D点的坐标。
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，从而可得到点P到x轴的距离，以OQ为底、
P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值。
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