2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)
11. （2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N. （1） 求M，N的坐标；
1x与直线2（2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以
每秒1个
单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.
?1?x=4?y=x【答案】解：（1）解?2得?。∴M的坐标为（4，2）。
y?2???y??x?6 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。 （2）S与自变量t之间的函数关系式为：
?12?4t?0?t?1???1t?1?1 24?413??t+?5 1，此时t=1。 4第 21 页 共 38 页 2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 当1＜t≤4时，S的最大值为 7，此时t=4。 42313493?13?11=??t??+， 当4＜t≤5时，∵S=?t2+t?4244?3?6∴S的最大值为 1113，此时t=。 363。 21 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。 21311 综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。 36 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过 【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。 【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。 （2）先求各关键位置，自变量t的情况： 起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合 时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。 ①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不 1111含t=0），三角形的底为t，高为t，∴S=?t?t=t2。 2242②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形 的上底为 111?1111t?1+t?1=t?。 ???t?1?，下底为t，高为1。∴S=??2?222422??③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和， 第一个梯形的上底为 1下底为2，高为4??t?1?=5?t；第二个梯形的上底为－t +6，?t?1?， 2下底为2，高为t?4。 第 22 页 共 38 页 2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 1?1131349?∴S=??t?1?+2???5?t?+??t +6+2???t?4?=?t2+t?。 2?22424?④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形 的上底为 6－t ，下底为7－t，高为1。∴S=113?6?t+7?t??1=?t+。 22⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不 1149含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴S=??7?t???7?t?=t2?7t+。 222（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。 1． 12. （2012四川内江12分）如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90，抛物线y?ax?bx?c经过A、B、C三点，其顶点为M. (1)求抛物线y?ax?bx?c的解析式； (2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明； (3)在抛物线上是否存在点N，使得S?BCN?4?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。 20 2 【答案】解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4， ∴△ACO∽△ABO 。∴ COAO2 ，∴OC=OA?OB=4。 ?OBCO∴OC=2。∴点C（0，2）。 ∵抛物线y?ax?bx?c经过A、B两点， ∴设抛物线的解析式为：y?a?x+1??x?4?，将C点代入上式，得： 22?a?0+1??0?4?，解得a=?1。 2第 23 页 共 38 页 2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) ∴抛物线的解析式：y??113?x+1??x?4?，即y??x2+x+2。 222（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下： 如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD= 1AB。 21231?3?25由（1）知：y??x+x+2=??x??+， 222?2?82325259），ME= ?2?。 28883而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。 2则点M（， 又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。 ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。 ∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。 （3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=25， 1145。 BC?h??25?h?4，h?22545过点B作BF⊥BC，且使BF=h=h?，过F作直线l∥BC交x轴于G。 55Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=， 5455BG=BF÷sin∠BGF=?=4。 55则：S?BCN?∴G（0，0）或（8，0）。 易知直线BC：y=?x+b， 将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则： 直线l：y=?11 x+2，则可设直线l：y=? 2211 x或y=?x+4； 22联立抛物线的解析式，得： 11??y?? x y?? x?4 ????22 ?，或?。 ?y??1 x2?3 x?2?y??1 x2?3x?2??2222??第 24 页 共 38 页 2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) ???x?2+22?x?2?22?x?2解得?或?或?。 y?3???y??1?2??y??1+2∴抛物线上存在点N，使得S?BCN?4，这样的点有3个： 。 N（，?1? 2）、N（，?1? 2）、N（3）12?2 222?2 232，【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。 【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。 （2）证明CM垂直于过点C的半径即可。 （3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l， 且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。 13. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切 于点E，AD ⊥CD （1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AB=3，∠ABE=60°， ①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。 【答案】解：（1）证明：连接OE。 ∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。 ∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。 ∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。 第 25 页 共 38 页