7. （2012浙江衢州8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
8. （2012浙江温州10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。 （1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
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9. （2012浙江义乌8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【答案】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°。
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠BAC=30°。
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE。
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∴AE是⊙O的切线。 （3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形。 ∴OB=BC=4，∠BOC=60°。∴∠AOC=120°。 ∴劣弧AC的长为
120???48=?。 1803【考点】圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，弧长的计算。
【分析】（1）由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等的圆周角定理，可求得∠ABC的度数。
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠
ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可证得AE是⊙O的切线。
（3）连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即
可求得劣弧AC的长。
10. （2012江苏宿迁10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC =b。 (1) 求CD的长度（用a，b表示）； (2) 求EG的长度（用a，b表示）；
(3) 试判断EG与FG是否相等，并说明理由。
【答案】解：（1）∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。 又∵AB为⊙O的直径，∴DA、CB为⊙O的切线。 又∵CD是⊙O的切线，AD=a，BC =b，
∴DE= AD=a，CE= BC =b（切线长定理）。∴CD= DE＋CE= a＋b。
（2）∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB。∴△DEG∽△DCB。 ∴
EGDEEGaab，即。∴EG?。 ??CBDCba+ba+b- 13 -
（3）相等。理由如下：
∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。 ∴
∴GF?BGCEbGFBGGFb，且△BGF∽△BDA。∴，即。????BDCDa+bDABDaa+bab。 a+b∴EG=FG。
【考点】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要为⊙O的切线，根据切线长定理即可得出结果。 （2）由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。
（3）由DA∥EF∥CB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。
11. （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O
相交于点
P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范
围．
【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：
连接OB。
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。
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∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。 ∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。 ∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。 ∴AB=AC。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。 又∵PC=25，
∴AB2?OA2?OB2?52?r2，AC2?PC2?PA2?2 5 由（1）AB=AC得52?r2?2 5 ∴AB=AC=4。
∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。 ∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴
得PB=???（5?r） 。
22??22，解得：r=3。 ?（5?r）252CPAP，即，解??6BPPDBP65。 5 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=
11122AC=AB=5?r。 222又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=∴r≥5。
又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。
1225?r≤r， 2∴⊙O的半径r的取值范围为5≤r＜5．
【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，
∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出
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