可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由
∠OAG=30°，可知
OG1OPOP1由?，??AG2ACAB2得
OPOGOGGP， ，由∠AGO=∠CGP??ACAGAGGC可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。
23. （2012四川自贡12分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。
又∵AB=2，∠P=30°，∴AP=
AB2==23。 tan?P33（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴∠ACP=90°。
又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半）。
在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD
（SSS）。
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。 ∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。
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【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在Rt△ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度。
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD。
24. （2012辽宁鞍山10分）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点
1D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延长OE到点F，使EF=2OE．
3（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．
【答案】解：（1）如图，连接OA，
??BE?。 ∵直径CE⊥AB，∴AD=BD=2， AE∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE， 又∵∠AOB=2∠ACB，∴∠BOE=∠ACB。
11又∵cos∠ACB=，∴cos∠BOD=，
33在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x， ∵OD+BD=OB，∴x+2=（3x），解得x=∴OB=3x=2
2
2
2
2
2
2。 23232，即⊙O的半径为。 22OB192（2）证明：∵FE=2OE，∴OF=3OE=。∴?。
2OF3- 37 -
又∵
OD1OBOD。 ?，∴?OB3OFOB又∵∠BOF=∠DOB，∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。 ∵OB是半径，∴BF是⊙O的切线。
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。
??BE?，由已知【分析】（1）连接OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理得AD=BD=2，AE1利用圆周角定理可得到∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=，在Rt△BOD中，
3设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x=22OB92 （2）由于FE=2OE，则OF=3OE=，则
2OF，则OB=3x=32。 2，于是得到
1OD1而?，?3OB3OBOD，?OFOB根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
25. （2012辽宁本溪12分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8。以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE。 （1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）过D点作DF∥BC交⊙O与点F ，求线段DF的长。
【答案】解：（1）如图，连接OB、OE。
在△ABO和△EBO中，
∵AB=BE(已知)，BO=BO(公共边)，OA=OE(圆的半径)， ∴△ABO≌△EBO（SSS）。
∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的对应角相等）。 又∵BE是⊙O的切线，∴OE⊥BC。∴∠BEO=90°， ∴∠BAO=90°，即AB⊥AD。∴AB是⊙O的切线。
（2）∵AD=10，DC=8，∴OE=5，OC=13，∴根据勾股定理，EC=12。
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设DF交OE于点G。
∵DF∥BC（已知），∴∠OGD=∠OEC=90°（两直线平行，同位角相等）。 ∴OG⊥DF。∴FD=2DG（垂径定理）。 ∵DF∥BC，∴△OGD∽△OEC。∴∴DF=
60ODDG5DG即? ? ， ∴DG=。
13OCEC1312120。 13【考点】切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，全等、相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）欲证AB是⊙O的切线，只需证明证得AB⊥AD即可。
（2）根据垂径定理推知DF=2DG；然后根据△OGD∽△OEC证得
由此可以求得DF的长度。
26. （2012辽宁朝阳10分）如图已知P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，
且PA=PB，
ODDG? ，OCEC?上任意一点（不与A、B重合）C为优弧AB，连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接
AC、BC。
（1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan?BCA?2，⊙O的半径为13，求弦AB的长。 3
【答案】解：（1）证明：如图，连接OA，OB，
∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。 在△OAP和△OBP中，
∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)， ∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OAP=∠OBP=90°。 ∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。 （2）延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，
∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。
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?，∴∠AEB=∠ACB。 ∵∠AEB和∠ACB都对AB∴tan?AEB?tan?BCA?设AB=2x，则AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=213，根据勾股定理得：?2x???3x??213解得：x=2或x=－2（舍去）。 ∴AB=2x=4。
【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）连接OA，OB，根据AP为⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，用SSS证得△OAP≌△OBP，由全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为⊙O的切线。
（2）延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，由锐角三角函数定义，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在Rt△AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长。 27. （2012辽宁丹东10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点
222。 3??2。
??CD?，弦AD的C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且BC延长线交切线PC于点E，连 接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，求AE的长．
【答案】解：（1）OB=BP。理由如下：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。
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