【分析】（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，从而求得⊙O的半径；
（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值。
19. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相
切于点E，AD⊥CD （1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AB=3，∠ABE=60°，
①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。
【答案】解：（1）证明：连接OE。
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。
∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。 ∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。 （2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。
∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。 ∵AB=3
，
∴
在
Rt△ABE
中
，
A?E?A在
32B?，32?c中
3，
o?s21?3，
203?3332，
?BRt△ADE∵∠DAE=30°AE=
∴AD?AE?cos30??3339??。 224，
②∵∠EAO=∠AEO=30°
- 31 -
∴?AOE?180???EAO??AEO?1800?300?300?1200。
∵OA=OB，∴S?AOE?S?BOE?∴S阴影?S扇形AOE?S?AOE21 S?ABE。 21?S扇形AOE? S?ABE
2?3?120????? ?2? ?1?1?33?3 ?3??93。 ?3602222416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故
∠DAE=∠AEO，
再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。
（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定
义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知
S?AOE?S?BO?E1 S?2求AB E出△AOE的面积，由S阴影?S扇形AOE?S?AOE即可得出结论。
20. （2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。 （1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。
【答案】解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB。∴∠PAO=∠PBO=90°。
∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°。 ∴∠APB=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
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（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴∠APO=
∴P在AB的垂直平分线上。
11∠APB=×60°=30°，PA=PB。 22∵OA=OB，∴O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线， ∴OD⊥AB，AD=BD=
1AB。 2∵∠PAO=90°，∴∠AOP=60°。 在Rt△PAO中，AO=
11PO=×20=10， 223=53，OD=OA?cos60°=102在Rt△AOD中，AD=AO?sin60°=10××
1=5， 2∴AB=2AD=103， ∴△AOB的面积为：
11AB?OD=?103?5=253（cm2）。 22【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。
（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是
AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。 21. （2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过
点D，E是⊙O 上一点，且∠AED=45°。
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。
【答案】解：（1）连接BD，OD，
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∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。 ∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。 又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。 （2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
11AE=×10=5。 221∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。
21∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。
2AF5在Rt△AOF中，sin∠AOF=?，
AO6AF5∴sin∠ADE= sin∠AOF =?。
AO6则AF=
22. （2012四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数； （3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．
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【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵AB=AC，∴BD=DC。
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
??DE?。 ∴∠BAD=∠CAD 。∴BD∴BD=DE。
∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。 ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°， ∴∠DCE=∠ABC=
1 (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。 2∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。 ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。 ∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。 （3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵
OG1?。 AG2OPOP1OPOGOGGP。∴。 ??，∴??ACAB2ACAGAGGC又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。 ∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙O的切线。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。
?（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故BDD?E?，
从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质
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