∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。
在Rt△CDF中，CF=CD﹣DF=5﹣1=24，∴AB=CF=26。
【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC
中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。
14. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=
2
2
2
2
2
5，求⊙O的半径． 13
【答案】解：（1）证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。 又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。 ∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。 ∴BC是⊙O的切线。 （2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA， ∴△OAF是等边三角形。 ∴∠AOF=60°。
- 26 -
∴∠ABF=
1∠AOF=30°。 2（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=
1BE=5。 2易证Rt△ADE∽Rt△CGE，
5， 13EG5∴CE?==13。
sin?ECG513∴sin∠ECG=sin∠A=
∴CG?CE2?EG2?132?52?12。 又∵CD=15，CE=13，∴DE=2， 由Rt△ADE∽Rt△CGE得∴⊙O的半径为2AD=
ADDEAD224，即。 ??，解得AD?CGGE125548。 5【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同
弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=
1BE=5，由2Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。
15. （2012湖北黄冈8分）如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，
过点D 作DE⊥BC，垂足为点E. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；
2
BE. （2）求证：DB=AB·
- 27 -
【答案】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一）。 又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。 ∴OD∥BC。
∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。 ∴DE为⊙O的切线。
0
（2）∵∠BED=∠BDC =90，∠EBD=∠DBC，
∴△BED∽△BDC，∴又∵AB=BC，∴
BDBE?。 BCBDBDBE2
?。∴BD=AB?BE。 ABBD【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。
2
（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD=BC?BE，将BC替换成AB即可
得出结论。
16. （2012湖北孝感10分）)如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，
CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC． (1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．
【答案】解：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，
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∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD。 又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA。
∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。 ∴CD是⊙O的切线。 （2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC。
∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF，AB=DF。 又∵AD=4，BC=9，∴FC=9－4=5。 ∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E， ∴DA=DE，CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。 在
Rt△DFC
中
，
DC2=DF2
＋
FC2
，
∴DF?DC2?FC2?132?52?12。
∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。
【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。
【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在
Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。
17. （2012湖南常德8分）如图，已知AB=AC，∠BAC=120o，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，
①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D， 求证：（1）AC是⊙O的切线； （2）四边形BOAD是菱形。
【答案】证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120o，∴∠ABC=∠C=30o。
∵OB=OA，∴∠BAO=∠ABC=30o。∴∠CAO=120o-30o=90o。
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∴ OA⊥AC。
∵OA为⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线。
（2）连接OD，
∵AD∥BC，∴ ∠DAB=∠ABC=30o。
∴∠DAO=60o。
∵OA=OD，∴△OAD为等边三角形。 ∴OB=OA=AD，
又∵AD∥BC，∴ADBO为平行四边形。 且OA=OB，∴四边形BOAD是菱形。
【考点】切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，菱形的判定。 【分析】（1）求证AC是⊙O的切线，则证OA⊥AC，很显然要运用圆的切线的判定定理。 （2）要证四边形BOAD是菱形，先证BOAD为平行四边形，再证一组邻边相等。 18. （2012湖南永州10分）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6． 求：（1）⊙O的半径； （2）cos∠BAC的值．
【答案】解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°。
∵PC=10，PA=6，∴由勾股定理得AC?PC2?PA2?102?62?8。 ∴OA=
1AC=4。∴⊙O的半径为4。 2（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°。
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°。∴∠BAC=∠P。 在Rt△PAC中，cos?P?3PA63??，∴cos∠BAC=。
5PC105【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义。
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