（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：AB是⊙O的切线．
【答案】（1）解：∵OA⊥CD，∴H为CD的中点，即CH=DH。
在Rt△OHD中，∠O=60°，∴∠ODH=30°。 又OD=2，∴OH=
1OD=1。 2根据勾股定理得：HD?OD2?OH2?3。 ∴CD=2HD=23。
（2）证明：∵OA=OD，∠O=60°，∴△AOD为等边三角形。∴OD=AD。∴∠OAD=∠ODA。
又∵AD=DB，∴∠DAB=∠DBA。
∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°， ∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°。 又∵OA是⊙O的半径，∴AB为圆O的切线。
【考点】切线的判定，勾股定理，垂径定理，含30°角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）由OA垂直于CD，利用垂径定理得到H为CD的中点，在Rt△ODE中，由∠O=60°求出
∠ODH=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OD的长求出OH的长，再利用勾股定理求出HD的长，由CD=2HD即可求出CD的长。
（2）由OA=OD且∠O=60°，得到△OAD为等边三角形，可得出AD=OD，利用等
边对等角得到一对角相等，再由AD=DB，利用等边对等角得到一对角相等，又这四个角之和为180°，等量代换可得出∠OAB为直角，即OA垂直于AB，即可得到AB为圆O的切线，得证。
18. （2012福建宁德10分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30o．
(1)求∠A的度数；
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(2)过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝43，求弧BC的长度(结果保留?)．
【答案】解：（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°。 ∵∠D=30°，∴∠COD=60°。 ∵OA=OC。∴∠A=∠ACO=30°。 （2）∵CF⊥直径AB，CF=43， ∴CE=23。
∴在Rt△OCE中，OC?CE23==4。
sin?COD32∴弧BC的长度为
60???44=?。 1803【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数。
（2）解Rt△OCE求出即可求出弧BC的长度。
19. （2012福建龙岩10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．
?的长． （1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求BD
【答案】解：（1）证明：如图，连接OB，
∵BC=AB，∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CAB=30°。 又∵OC=OB，∴∠CBO=∠ACB=30°。
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∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°。
在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，∴∠ABO=90°，即AB⊥OB。 ∴AB为圆O的切线。 （2）∵OB=2，∠BOD=60°，
?的长度=∴BD60???22??。 1803【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，切线的判定，弧长的计算。 【分析】（1）连接OB，如图所示，由BC=AB，利用等边对等角得到一对角相等，由∠CAB
的度数得出
∠ACB的度数，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，确定出∠CBO，由外角的性质求出∠AOB的度数，在△AOB中，利用三角形的内角和定理求出∠ABO为90°，可得出AB为圆O的切线。
（2）直接应用弧长公式计算即可。
20. （2012福建三明10分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α＋β=900． （1）求证：BC是⊙O的切线；（5分）
3（2）若OA=6，sin?=，求BC的长．（5分）
5
【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，则∠BOC =2∠A=2α，
∴∠BOC+∠B=2α＋β=900。 ∴∠BCO=900，即OC⊥BC。 ∴BC是的⊙O切线。
（2）∵OC=OA =6，由(1)知，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sin??63OC3=，即=。∴OB=10。
OB5OB5∴BC?OB2?OC2?102?62?8。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质和内角和定理，锐角三角函数定
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义，勾股定理。
【分析】（1）连接OC，则由等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质得∠BOC =2∠A=2α，，从而由已知2α＋β=900根据三角形内角和定理可求得∠BCO=900，即OC⊥BC。
，
即BC是⊙O的切线。
3（2）由已知OA=6，sin?=，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求BC的长。
521. （2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切
线互相垂直，
垂足为D，AD交⊙O于点E．
(1) 求证：AC平分∠DAB；
(2) 若∠B＝60o，CD＝23，求AE的长．
【答案】解：(1) 证明：如图，连接OC，
∵ CD为⊙O的切线，∴ OC⊥CD。∴ ∠OCD＝90°。 ∵ AD⊥CD，∴ ∠ADC＝90°。∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°。 ∴ AD∥OC。∴ ∠CAD＝∠ACO。 ∵ OA＝OC，∴ ∠ACO＝∠CAO。 ∴ ∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。 (2) ∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°． 又∵ ∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。 在Rt△ACD中，CD＝23，∴ AC＝2CD＝43。
AC43
在Rt△ABC中，AC＝43，∴ AB＝＝＝8。
cos∠CABcos30°连接OE，
∵ ∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴ △AOE是等边三角形。 1
∴ AE＝OA＝AB＝4。
2
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角
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定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。
【分析】(1) 连接OC，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD
垂直于CD，可
得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD＝∠ACO，再由OA＝OC，
利用等边对等
角得到∠ACO＝∠CAO，等量代换可得出∠CAD＝∠CAO，即AC为角平分线。
(2)由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，
由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°，可得出∠CAD的度数为30°。在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在Rt△ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE＝OA，得到△AEO为等边三角形，可得出AE＝OA＝OE，即可确定出AE的长。 13. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分）如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．
【答案】（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，
∵AC是切线，∴OA⊥AC。
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO， 又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。 ∴CD是⊙O的切线。
（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，
∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。 ∴CD=CE+DE=5。
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。
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