2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出5?r?2 5 ?（5?r）22??2CPAP ，代入求出PB即可。 ?PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作
OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。
12. （2012江苏扬州10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D． (1)求证：AC平分BAD；
(2)若AC＝25，CD＝2，求⊙O的直径．
【答案】解：（1）如图：连接OC。
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD。 ∴∠ADC＝∠OCF＝90°。∴AD∥OC。 ∴∠DAC＝∠OCA。
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA。
∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠BAD。 （2）连接BC。
在Rt△ADC中，AC＝25，CD＝2，∴AD＝4。 ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC。 ∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB。 ∴
254ACAD=，即。 =AB25ABAC∴AB＝5。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
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【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD。
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长。
13. （2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。 （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，cos?FCE=2，求弦AC的长。 5
【答案】解：（1）连接OC，
∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。 又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）。
又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。 ∴∠OCA＋∠FCE =900（等量代换），即∠OCF =900。 ∴OC⊥CF（垂直定义）。
又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。 （2）连接BC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。 ∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO
=∠FCE，
∴∠OBC=∠FCE。 又∵cos?FCE=22，∴cos?OBC=。 55 又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。
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在Rt△ABC中， BC?AB?cos?OBC=10?2?4 5 ∴AC?AB2?BC2?102?42?221。
【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。
（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到
2cos?OBC=，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。
514. （2012福建宁德10分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30o．
(1)求∠A的度数；
(2)过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝43，求弧BC的长度(结果保留?)．
【答案】解：（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°。 ∵∠D=30°，∴∠COD=60°。 ∵OA=OC。∴∠A=∠ACO=30°。 （2）∵CF⊥直径AB，CF=43， ∴CE=23。
∴在Rt△OCE中，OC?CE23==4。
sin?COD32∴弧BC的长度为
60???44=?。 1803【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD
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是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数。
（2）解Rt△OCE求出即可求出弧BC的长度。
15. （2012福建厦门9分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD
交AB于E， ∠BCD＝∠BAC . （1）求证：AC＝AD；
（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.
︵︵【答案】（1）证明：∵∠BCD＝∠BAC，∴BC＝BD。
∵ AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE。 ∴AC＝AD。
（2）解：不正确，如当∠CAB＝20°时，CF不是⊙O的切线。
如图， 连接OC。
∵ OC＝OA，∴∠OCA＝20°。 ∵∠ACB＝90°，∴ ∠OCB＝70°。 又∵∠BCF＝30°，∴∠FCO＝100°。
∴CO与FC不垂直.。∴此时CF不是⊙O的切线.。
【考点】圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，切线的判定。
【分析】（1）连接AD．根据∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，证出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD。
（2）不正确。可令∠CAB=20°，连接OC，据此推出∠OCF≠90°，从而证出∠BCF=30°
时“CF不一定是⊙O的切线”。
16. （2012福建莆田10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
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(1)(5分)求证：CG是⊙O的切线；
(2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
【答案】证明：(1)如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900。
∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。
∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。 ∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即
∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。 (2)∵DG＝FG，∴S?DCF?2S?DCG。
∵DC＝CB，∴S?DCF?S?BCF，∴S?BCF?2S?DCG。
又∵S?ABF?2S?DCG，∴ S?ABF?S?BCF。∴AF＝FC。 又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。∴OF∥BC。
【考点】切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形中位线的判定和性质。
【分析】（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC。
（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边
的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。 17. （2012福建南平10分）如图，直线l与⊙O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，∠O=60°， （1）求CD的长；
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