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（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数f(x)?(x?a)2(x?b)e2，b?R， x?a是f(x)的一个极大值点．
(Ⅰ)求b的取值范围；
(Ⅱ)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4?R，使得x1,x2,x3,x4的某种排列xi,xi,xi,xi(其中?i1,i2,i3,i4?=?1,2,3,4?)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的x4；若不存
1234在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
2? （Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) ?x??(3?a?b)x?2b?ab?a?,令
g(x)?x?(3?a?b)x?2b?ab?a,则?=(3-a+b)?4(2b?ab?a)?(a?b?1)?8?0,222
于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2.
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1?a且x2?a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1
即a?(3?a?b)a?2b?ab?a?0 所以b＜-a
所以b的取值范围是（-∞，-a）
2
此时x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)?8?a?a?26 22或x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)?8?a?a?26 （2）当x2?a?a?x1时，则x2?a?2(a?x1)或(a?x1)?2(x2?a)
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于是a?b?1??9?213
此时x4?a?x2?2a?(a?b?3)?3(a?b?3)4??b?3?a?1?132
综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时，x4?a?26
b??a?7?27?13213时，x4?a?1?213
b??a?时，x4?a?1?132
（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分） 设函数f?x??1?e?x．
xx?1（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??；
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（Ⅱ）设当x?0时，f?x??xax?1，求a的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】
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【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
（2010陕西文数）21、(本小题满分14分) 已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a?R。
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值?（a）的解析式； （3） 对（2）中的?（a），证明：当a?（0，+?）时， ?（a）?1. 解 （1）f’(x)=
12x,g’(x)=
ax(x>0),
由已知得 x=alnx，
12x=ax， 解德a=
e2,x=e,
12
?两条曲线交点的坐标为（e,e） 切线的斜率为k=f’(e
122)=
2e,
?切线的方程为y-e=2e(x- e2).
（2）由条件知
Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=4a,
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