所以当0 < x< 4a2时 h '(x)<0，h(x)在（0，4a2）上递减； 当x>4a2时，h '(x)>0，h(x)在（0，4a2）上递增。
所以x>4a2是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ （a）=h(4a2)= 2a-aln4a2=2
Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ （a ）=-2ln2a，令Φ （a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ （a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1
（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.
a?1x2ax?a?1x2111解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)??2ax?.
当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；
a?12aa?12a当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?.当x∈(0, ?)时, f?(x)＞0；
x∈(?a?12a，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, ?a?12a）单调增加，在（?a?12a，+?）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于
f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,
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即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则
g?(x)?2a?1x?2ax+4
＝
2ax?4x?a?1x2.
2于是g?(x)≤
?4x?4x?1x＝
?(2x?1)x≤0.
从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2.
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 （I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 解：
（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?a?1x?2ax?2ax?a?1x2.
当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；
a?12a当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??.
则当x?(0,?a?12a)时，f'(x)＞0；x?(?a?12a,??)时，f'(x)＜0.
故f(x)在(0,?a?12a)单调增加，在(?a?12a,??)单调减少.
（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2 等价于
?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①
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令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?a?1x?2ax?4
①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即
a?1x. ?2ax?4?0?4x?12x?12 从而a??(2x?1)?4x?22x?1222?(2x?1)222x?1?2
故a的取值范围为（-∞，-2]. ??12分
（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
??（2）求出函数的导数f(x)，在（2，3）内有极值，即为f(x)在（2，3）内有一个零点，即可根据f?(2)f?(3)?0，即可求出A的取值范围。
（2010江西理数）19. （本小题满分12分） 设函数f?x??lnx?ln?2?x??ax(a?0)。 （1）当a=1时，求f?x?的单调区间。 1?上的最大值为（2）若f?x?在?0，12，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：f?(x)?1x?12?x?a，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令f?(x)?0得1x?12?x+1=0??0（x2?x）?x?22
2),f?(x)?0,为减函数。 当x?(0,2),f?(x)?0,为增区间；当x?(2，1?上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定 （2） 区间?0，待定量a的值。
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当x??0，1?有最大值，则必不为减函数，且f?(x)?最大值在右端点取到。fmax?f(1)?a?121x?12?x?a>0，为单调递增区间。
。
（2010安徽文数）20.（本小题满分12分） 设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x??2，求函数f?x?的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数f?x??sinx?cosx?x?1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表： 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?2，2?），3?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. （2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.) 已知函数f(x)?ax?x?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 32 第 29 页 共 29 页 （2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数f(x)?(x?a)2（a-b）(a,b?R,a 第 30 页 共 30 页