n（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?k?22?n?n2；
2n(n?1)n1
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较??f(k)?n?与4的大小，并说明理由.
2k?1本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方
法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得ax＝
y?1y?1＞0
故g(x)＝loga由logatx?1x?1，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
x?1x?1(x?1)(7?x)2
2?loga得
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6] 则t'=-3x+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下： x t'
2
(2,5) + ↗
5 0 极大值32
(5,6) - ↘
6
t 5 25 所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]????????????????????5分
n(2) ?g(k)?lnk?2131?ln2424??ln3535????lnn?1n?1n?1n?1
＝ln(?3????)
＝－ln
n(n?1)22
1z令u(z)＝－lnz－
2z2
1?zz1z＝－2lnz＋z－
1z2
，z＞0
则u'(z)＝－?1?2＝(1－)≥0
所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为
n(n?1)2＞1＞0，所以u(n(n?1)2)＞u(1)＝0
即ln
2n(n?1)1??n(n?1)2＞0 n(n?1)2第 36 页 共 36 页
n即?g(k)?k?22?n?n2????????????????????????9分
2n(n?1)(3)设a＝
11?p，则p≥1，1＜f(1)＝
1?a1?a?1?2p≤3
当n＝1时，|f(1)－1|＝当n≥2时
2p≤2＜4
设k≥2,k∈N 时，则f(k)＝
*
(1?p)?1(1?p)?1kk?1?2(1?p)?1k
＝1＋
2Cp?Cp???Cp44k4n?11k2k2kkk
所以1＜f(k)≤1＋
2Ck?Ck12?1?k(k?1)4n?1?1??4k?1
n从而n－1＜?f(k)≤n-1+
k?2n42?＝n+1-＜n＋1
所以n＜?f(k)＜f(1)＋n＋1≤n＋4
k?1n综上所述，总有|?f(k)－n|＜4
k?1
（2010天津文数）（20）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=ax?332x?1(x?R)，其中a>0.
2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间????11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22?【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f’(x)=3x?3x, f’(2)=6.所以曲线y=f
22（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=3ax?3x?3x(ax?1).令f’(x)=0，解得x=0或x=
第 37 页 共 37 页
21a.
以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则1a?12，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
?1?0，?2?? ?X
?1?0? ??，?2?0
f’(x) f(x)
+
?
0 极大值
-
?
1?5?a??0,f(?)?0,??11??8??2 当x??，时，f（x）>0等价于? 即??22????f(1)?0,?5?a?0.???2?8 解不等式组得-5
（2） 若a>2，则0?1a?12.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
?1?0，?a?? ?1aX f’(x) f(x)
?1?0? ??，?2?0 0 极大值
?11??，? ?a2?+
?
-
?
0 极小值
+
?
1?5?a?>0,f(-)>0,??11????82当x???，?时，f（x）>0等价于?即?
11?22??f()>0,?1->0.2???a?2a2222解不等式组得?a?5或a??.因此2
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0
（2010天津理数）（21）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?xc?x(x?R)
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当x?1时，
f(x)?g(x)
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（Ⅲ）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2
【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x 令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X f’(x) f(x)
(??,1) +
?
1 0 极大值
(1,??) -
?
所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1e
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex?2
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x 当x>1时，2x-2>0,从而e-1-12x-2?1?0,又e?x ?0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。
根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2.
（2010福建文数）22．（本小题满分14分）
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已知函数f（x）=
13x?x?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
32(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+
mx?1是[2,??]上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
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