20.如图，某学校的教室A点东240米的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响的范围在130米内。（1）通过计算说明这条公路上车辆的噪音必然会对学校造成影响;（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一条消音墙，请你计算消音墙的长度（只考虑声音的直线传播）。 N M 60°
A 第十九章 四边形 知识点 O
本章知识结构见课本118页。 一、平行四边形
1、定义：有两组 分别 的四边形叫做平行四边形。 2、对称性：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
一个图形绕着它的中心旋转180°后，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形。 3、性质：
（1）平行四边形的对边 ，平行四边形的对边 ； （2）平行四边形的对角 ，平行四边形的邻角 ； （3）平行四边形的对角线 。 4、判定：
（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （3）一组对边 的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别 的四边形是平行四边形； （5）对角线 的四边形是平行四边形； 5、平行四边形的面积=底3高。 6、中位线：
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形有3条中位线。 （2）中位线定理： 。 7、两平行线间的距离处处相等；夹在两平行线间的平行线段相等。 二、矩形
1、定义：有一个角是 角的 叫做矩形。 2、对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，矩形有2条对称轴。 3、性质：（1）矩形的四个角都是 角；（2）矩形的对角线 。
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质。
4、判定：
（1）有一个角是 角的 是矩形；
A（2）对角线 的平行四边形是矩形；
（3）有 个角是直角的四边形是矩形。 D5、直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 CB（2）直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形中，60°角对的直角边是30°角对的直角边的3倍。
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三、菱形
1、定义：有一组 相等的平行四边形叫做菱形。
2、对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线。 3、性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角； （3）菱形是特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的所有性质。 4、判定：
（1）一组邻边 的平行四边形是菱形； （2）对角线 的平行四边形是菱形； （3）四条边都相等的四边形是菱形。 5、菱形的面积=底3高=
1AC2BD。（AC、BD为菱形的对角线） 2四、正方形
1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有4条对称轴。 3、性质：
（1）正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直。 （2）正方形的四个角都是直角。
（3）正方形的两条对角线互相平分，互相垂直，相等，平分对角。 4、判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 五、梯形
1.定义：梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形：两腰相等的梯形。
2、对称性：等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。 3、性质：（等腰梯形）
（1）等腰梯形的两条对角线 。（2）等腰梯形 的两个角相等； 4、、判定：（等腰梯形）
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、、解梯形问题常用的辅助线：如图
6、梯形的中位线：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半。 7、梯形的面积：s?
1(a?b)h （a为上底，b为下底，h为高） 216
第十九章 四边形 综合练习
一、 选择题
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、等腰梯形的对角线互相垂直；B、菱形的对角线相等；
C、矩形的对角线互相垂直； D、正方形的对角线互相垂直且相等。 2、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，错误的是（ ）
A、AB=CD； B、AC=BD； C、当AC⊥BD时，它是菱形； D、当∠ABC=90°时，它是矩形。 3、菱形和矩形都有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角线互相平分且相等 4、顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ）
A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、是中心对称图形而不是轴对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、没有对称性
5、四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，能判定它是正方形的是（ ） A、AO=OC，OB=OD B、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD C、AO=OC，OB=OD，AC⊥BD D、AO=OC=OB=OD
6、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（ ） A、20 B、18 C、16 D、15
第7题图 第9题图 第10题图 8、平行四边形的两条对角线及一边长可依次取（ ） A、6,6,6 B、6,4,3 C、6,4,6 D、3,4,5
9、如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于（ ） A、15° B、30° C、45° D、60°
10、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点，若OE=3cm，则AB的长为（ ） A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
11、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=4，D点的坐标为（10，0），则C点的坐标为（ ） A、（6,3） B、（7,3） C、（6,4） D、（7,4）
第11题图 第13题图 第14题图
12、在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯
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形的是（ ） A、
B、
C、
D、
13、如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：①S△ADE?S△EOD ；
②四边形BFDE是菱形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE=∠EDO，其中错误的结论有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
14、如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE,BF,DE,DF,则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形？（ ）
A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60° D、AB=AF 二、填空题
15、在□ABCD中，如果∠A：∠B=4：5，那么∠A= ，∠D= 。
16、如图，大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 。
第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
17、如图，BD是□ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是 。 18、如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，AB=8，∠ABC=60°，则AC= 。
19、已知菱形的一条对角线长为12，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为 。 20、如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k= 。 21、能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 （填上一个符合题目要求的条件即可）。 22、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S1 S2（填“＞”“＜”“＝”）。
23、如图，在□ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的点，若再增加一个条件 ，就可推得BE=DF。 24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 。
第22题图 第23题图 第24题图 25、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图（1）），使AB=CD，EF=GH； （2）摆放成如图（2）所示的四边形，则这时窗框的形状是 形，
根据的数学道理是： ；
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（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图（3）），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图（4）），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： 。
三、解答题
26、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别于AB，CD的延长线交于点E，F。
求证：四边形AECF是平行四边形。
27、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F，请你判断线段BF与图中的哪条线段相等，先写出猜想，再加以证明。
28、在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB，FC使其交于点M。判断四边形AEMF的形状，并给予证明。
29、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB与E，F在DE的延长线上，并且AF=CE。（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论。 （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
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