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第五章 不确定条件下的选择
前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关，然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。
第一节 不确定性选择事例
通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。
不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素，或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。
风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。
下面来看不确定性条件下选择的几个事例。
例1. 抽彩(lottery)
设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品1的概率为p，获得奖品2的概率为1?p。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品1的概率为q，获得奖品2的概率为1?q。抽彩人得到奖品1后，能获得U1个单位的效用；获得奖品2后，能获得U2个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？
要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用EU1表示第一种彩票的预期效用，EU2表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知，
EU1?pU1?(1?p)U2 ， EU2?qU1?(1?q)U2
比较一下EU1和EU2的大小，如果EU1?EU2，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当EU1?EU2时，抽彩人会选择第二种彩票。当EU1?EU2时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。
这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票
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有n个等级的奖励：1等奖，2等奖，?，n?1等奖(末等奖)，n等奖(无奖)。获得i等奖的概率为pi（i?1,2,?,n)，p1?p2???pn?1。这个彩票可用它的中奖概率分布(p1,p2,?,pn)来表示。再设抽彩人获得i等奖时，可获得Ui个单位的效用，则该彩票的预期效用为EU?p1U1?p2U2???pnUn。
预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下表加以表示。
表5-1 彩票抽彩 奖励等级 1等奖 2等奖 ? n?1等奖 n等奖 中奖概率 ? pn?1 p2 pn p1 中奖效用 预期效用 U1 ? Un?1 Un EU?p1U1?p2U2???pnUn U2
例2. 赌博(gamble)
赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西—法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢，乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以50元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得50元，当然也不会付出50元，双方收入50元不变。如果赌，赌赢者可得50元（收入变为100元），赌不赢就要付出50元(收入变为0元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作一下分析。
甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为p，法国队赢球的概率为1?p；乙认为巴西队赢球的概率为q，法国队赢球的概率为1?q。则p?1?p，q?1?q。
用u表示甲的货币收入效用函数，甲根据自己的概率判断，v表示乙的货币收入效用函数。
计算出赌博的预期效用为EU?pu(100)?(1?p)u(0)；乙也根据自己的概率判断，计算出赌博的预期效用为EV?qv(0)?(1?q)v(100)。如果EU?u(50)，那么甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果EV?v(50)，那么乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，乙会参加赌博。只有当EU?u(50)且EV?v(50)时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。
赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博，这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。
设有一个赌博，赌输要输掉w1元，赌赢则可得到w2元的收获。某人现有货币收入W元且W?w1，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态度。假定该人认为这场赌博输的概率为p，赢的概率为1?p，他的货币收入效用函数为U(r)。如果不参加赌博，则收入W元不变，效用为U(W)；如果参加赌博，则预期收入为ER?p(W?w1)?(1?p)(W?w2)，预期效用为EU?pU(W?w1)?(1?p)U(W?w2)。
当ER?W时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用EU大于不赌的效用U(W)，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即U(W)?EU)，那么他就是一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不赌是一样的(即EU?U(W))，那么就称他是一个风险中立者。
显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数U的性态上(如图5-1所示)：
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(1) 风险爱好者的效用函数U是凸函数，即对任何两种收入W1和W2，及任何实数p?(0,1)，都有U(pW1?(1?p)W2)?pU(W1)?(1?p)U(W2)。 (2) 风险规避者的效用函数U是凹函数，即对任何两种收入W1和W2，及任何实数p?(0,1)，
都有U(pW1?(1?p)W2)?pU(W1)?(1?p)U(W2)。 (3) 风险中立者的效用函数U是线性的，即对任何两种收入W1和W2，及任何实数p?(0,1)，
都有U(pW1?(1?p)W2)?pU(W1)?(1?p)U(W2)。
应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多数人来说都是适用的。
U U U
EU EU
U(ER) EU U(ER) U(ER) W W W W1 ER W2 W1 ER W2 W1 ER W2 (a) 风险爱好者 (b) 风险规避者 (c) 风险中立者 图5-1 对待风险的态度与效用函数性态 我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不赌的收入，称为亏赌。假定效用函数U是严格递增的（即收入越多，效用越大）。
对于亏赌来说，ER?W。根据U的严格递增性，U(ER)?U(W)。风险规避者及风险中立者认为EU?U(ER)，故EU?U(W)，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为EU?U(ER)，因此，EU与U(W)哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都有可能参加（因为有可能EU?U(W)）。
对于盈赌来说，ER?W，因此U(ER)?U(W)。风险爱好者和中立者认为EU?U(ER)，因而EU?U(W)，他们肯定要赌；但风险规避者认为EU?U(ER)，于是EU与U(W)哪个更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能EU?U(W)）。
以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。
表5-2 赌博与对待风险的态度 公平赌博 盈赌 亏赌 对待风险的态度 效用函数的性态 风险爱好者 风险中立者 风险规避者 凸函数 线性函数 凹函数 赌 赌 不一定不赌 可赌、也可不赌 赌 不赌 不赌 不一定赌 不赌
例3. 择业
设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％。
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计算一下这两种工作的预期月收入ER1和ER2：
ER1?0.5?2000?0.5?1000?1500（元） ER2?0.99?1510?0.01?510?1500（元）
可见，月收入的期望值都为1500元。
2再计算一下这两种工作月收入的方差?12和?2：
22?1?0.5?(2000?1500)?0.5?(1000?1500)2?250000 2?2?0.99?(1510?1500)2?0.01?(510?1500)2?9900
所以，两种工作的标准差分别为?1?500，?2?3011。?1??2说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）。
这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就会选择第二种工作。
如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工作的收入情况还是如上，则
ER1?0.5?2100?0.5?1100?1600（元） ER2?0.99?1510?0.01?510?1500（元）
?12?0.5?(2100?1600)2?0.5?(1100?1600)2?250000 2?2?0.99?(1510?1500)2?0.01?(510?1500)2?9900
第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作，比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前，人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。
第二节 预期效用
本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话，那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效用理论，回答这个问题。
一、风险选择集合
回到上节例1中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。设共有n个等级的奖励：1等奖, 2等奖, ?, n等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一种概率分布(p1,p2,?,pn)，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同，而所有彩票的奖励类型都是相同的）。这样一来，每一种彩票都可用购买它的获奖概率分布(p1,p2,?,pn)来表示。当概率分布变为(q1,q2,?,qn)时，(q1,q2,?,qn)便代表了另一种彩票。
抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分
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布的集合X?{(p1,p2,?,pn)?[0,1]n:p1?p2???pn?1}来表示。称此集合X为抽彩的选择集合。注意，X是欧氏空间Rn的有界闭凸子集。
对于任何两种彩票p?(p1,p2,?,pn)?X和q?(q1,q2,?,qn)?X，当a为某随机事件A发生的概率时，ap?(1?a)q代表了一种以概率a获得彩票p，以概率1?a获得彩票q的新彩票，该彩票等同于获奖概率分布为(ap1?(1?a)q1,ap2?(1?a)q2,?,apn?(1?a)qn)的彩票。称ap?(1?a)q为彩票p和q的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合X的凸性的意义所在。
抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有?种商品可供人们选择，确定性商品空间为R?，确定性的选择集合（消费集合）为S?R?。
在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨，就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。用?表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用?的子集表示。假定每个人都能根据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个人都有自己的概率空间(?,?,P),其中?为事件域(即?为?上的一个σ?域），P为?上的概率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为?上的一个随机向量? (即?是从?到S的一个映射）。这就是说，如果?中的状态?出现，就选择向量?(?)。由于?出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择S中的哪一个向量。然而，选择S中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下，?上的?维随机向量?:??S的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用X或X(S)表示来表示这个集合，即
X?X(S)?{?：?:??S为随机向量}
并称该集合X?X(S)为经济活动者的风险选择集合。
对于??(?1,?2,?,??)?X，?的数学期望向量E[?]?(E[?1],E[?2],?,E[??])称作?的预期向量或预期值。
风险选择集合X扩充了确定性选择集合S，即每一种确定性的选择x?S都可看作是一种特殊的随机选择?x：?x(?)?x（对任何???）。更一般地，如果随机向量?的取值几乎处处相等，即几乎处处等于某个x?S（也即P{?(?)?x}?1），则可把这个随机向量看成是确定性的向量x，也就是说，可认为???x。易见，E[?x]?x。作了这个解释后，我们可认为S?X?X(S)。
当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又涉及积分，而积分本身就是一种极限）。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合S是空间
R?的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要S的凸闭性，哪里就假定S是凸闭集，而不再赘述。
从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓f是?维随机向量??X的分布函数，是指f是一个?元实值函数，且对于任何x?(x1,x2,?,x?)?R?，f(x)?P{?(?)??x}?P{?1(?)?x1,?2(?)?x2,?,??(?)?x?}。分布函数f的密度函数，是一个实值函数?(x)使得对任何x?(x1,x2,?,x?)?R?，都有：
(1) ?(x)??(x1,x2,?,x?)?0
(2) ????(t1,t2,?,t?)dt1dt2?dt??1
??????(3) f(x1,x2,?,x?)?????(t1,t2,?,t?)dt1dt2?dt?
????x1x?由于X中的随机向量?取值于集合S之中，因此可以认为?的分布密度函数?(x)在集合
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