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S之外取值为零：当x?S时，?(x)?0。
今后,我们把随机向量?与它的分布函数f（或者分布密度函数?）等同看待。这样，就可用分布函数集合D?D(S)来替代风险选择集合X，其中D(S)定义如下：
D?D(S)?{f:f是X中的某随机向量?的分布函数}
象复合抽彩一样，对于一般的随机行为，也有复合随机行为的概念。设?,??X为两种随机行为，f,g?D(S)分别为?,?的分布函数，?,?分别为f,g的密度函数，p?[0,1]为一事件A??发生的概率。
用p??(1?p)?表示这样的复合随机行为：以概率p选择?，以概率1?p选择?（注意，p??(1?p)?与p??(1?p)?的含义不同）。亦即，当事件A发生时，按照?进行随机选择；当事件A不发生时，按照?进行随机选择。这也就是说，p??(1?p)?代表了这样的一种随机选择（随机向量）：如果事件A发生，那么每当自然状态???出现时，就选择?(?)；如果A不发生，那么每当自然状态???出现时，就选择?(?)。称p??(1?p)?为随机选择?和?的复合选择，或者称为随机向量?和?的复合随机向量。
复合随机向量p??(1?p)?的概率分布可计算如下。对任何x?(x1,x2,?,x?)?R?，用则根据全概率公式P(B)?P(A)P(BA)?P(Ac)P(BAc)（其B表示事件{p??(1?p)???x}，中Ac???A）可知，
P{???:(p??(1?p)?)(?)??x}?P(A)P{(p??(1?p)???xA}?P(Ac)P{p??(1?p)???xAc}?pP{???x}?(1?p)P{???x}?pf(x)?(1?p)g(x)
这说明，复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均。
同时也说明了分布函数的加权平均的意义。注意，随机向量的复合不要求确定性选择集合S的凸性。既然我们可用分布函数集合D(S)代替随机向量集合X(S)，可见在带有不确定性的选择环境中，随机选择集合必然是凸集，即D(S)是凸集（尽管S可能不是凸集）。今后，我们把分布函数pf(x)?(1?p)g(x)称为按概率p(和1?p)进行的复合分布函数。
容易看出，复合分布pf(x)?(1?p)g(x)的密度函数为p??(1?p)?。称此密度函数为按概率p(和1?p)进行的复合密度函数。
以上分析表明了用分布函数集合D(S)替代随机选择集合X(S)的优越性所在：复合行为就是对概率分布进行加权平均。鉴于此，今后就直接把D(S)称为随机选择集合，即视X(S)和D(S)为同样的集合。
二、预期效用性质
我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设Ui为抽彩人获得第i种奖品时获得的效用量(i?1,2,?,n)。对于彩票p?(p1,p2,?,pn)，抽彩人的预期效用EU为：
EU(p)?p1U1?p2U2???pnUn
当p?(p1,p2,?,pn)和q?(q1,q2,?,qn)为两种彩票，a为某事件A发生的概率时，复合抽彩ap?(1?a)q的预期效用为：
EU(ap?(1?a)q)?(ap1?(1?a)q1)U1?ap2?(1?a)q2)U2???apn?(1?a)qn)Un?aEU(p)?(1?a)EU(q)
这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所表现出来的这种效用评价特点，称为预期效用性质。
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其实，预期效用性质不但为复合抽彩所具有，而且对一般的随机行为也是基本适用的。为了说明这一点，设U是消费者在确定性环境下的效用函数，并假定U定义在整个商品空间R?上。对于??X(S)，设f?D(S)为其分布函数，则?的预期效用EU(?)(也可表示为EU(f))定义为：
EU(?)?EU(f)????U(x1,x2,?,x?)df(x1,x2,?,x?)
??????当?为连续型随机变量且?为f的密度函数时，则?的预期效用EU(?)可写成：
EU(?)????U(x1,x2,?,x?)?(x1,x2,?,x?)dx1dx2?dx???????
??U(x1,x2,?,x?)?(x1,x2,?,x?)dx1dx2?dx?S在带有不确定性的选择环境中，消费者的目标是让预期效用最大化。因此，如上的预期效用EU(f)实际上给出了消费者在风险选择集合D(S)上的一个效用函数，称其为预期效用函数。当???x?X(S)（x?S)为确定性行为时，EU(?)?EU(?x)?U(x)。 因此，预期效用函数EU是原来确定性的效用函数U的扩充。
对于任何f,g?D(S)及p?[0,1]，复合随机行为pf?(1?p)g的预期效用为
EU(pf?(1?p)g)???????U(x)d(pf?(1?p)g)(x)?????p?????U(x)df(x)?(1?p)?????????U(x)dg(x)
????pEU(f)?(1?p)EU(g)也即对于任何?,??X(S)及p?[0,1]，都有EU(p??(1?p)?)?pEU(?)?(1?p)EU(?)。这说明不确定性条件下，从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质。
三、预期效用函数
预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的，也是有力的工具。确定性效用函数引导的预期效用函数EU，既具有预期效用性质，又诱导出了风险选择集合D(S)上的一个偏好关系U：对于任何f,g?D(S)，fUg当且仅当EU(f)?EU(g)。对于这个偏好关系U来说，表示它的效用函数有无穷多个，但EU是所有这些效用表示中最重要的一个，因为这个效用函数具有预期效用性质。
更一般地，我们有下面的定义。
预期效用性质．风险选择集合D(S)上的效用函数u叫做具有预期效用性质，是指对任何f,g?D(S)及任何实数p?[0,1]，都有u(pf?(1?p)g)?pu(f)?(1?p)u(g)。
如果直接采用随机向量集合X(S)表示风险选择集合，那么预期效用性质的表达方式变成为：任何?,??X(S)及任何实数p?[0,1]，都有u(p??(1?p)?)?pu(?)?(1?p)u(?)。
凡是具有预期效用性质的效用函数u:D(S)?R（或者u:X(S)?R），都叫做预期效用函数，或者叫做von Neumann-Morgenstern效用函数，简称为VNM效用函数。不过采取后一种叫法时，其意义已经扩充了原来的von Neumann-Morgenstern效用函数概念。
当一个预期效用函数u:D(S)?R是D(S)上的某个偏好关系的效用表示时，就称u是的预期效用表示，或者称u是的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做预期偏好。
（一）预期效用公理
下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。为此，设是风险选择集
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合D(S)上的一个偏好关系。我们需要对提出一些附加性公理。
阿基米德公理．对于任何的f,g,h?D(S)，如果f?g?h，则存在p,q?(0,1)使得pf?(1?p)h?g?qf?(1?q)h。
独立性公理．对于任何的f,g,h?D(S)及任何实数p?[0,1]，如果fg，则pf?(1?p)hpg?(1?p)h
连续性公理．对于任何的f,g,h?D(S)，集合{p?[0,1]:pf?(1?p)gh}和集合{p?[0,1]:pf?(1?p)gh}都是闭集。
这三条公理称为预期效用公理，其几何直观意义如图5-2所示。
阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为g的好坏程度介于f和h之间，那么必然存在f与h的两种复合行为a?pf?(1?p)h和b?qf?(1?q)h，使得g的好坏程度介于a和b之间。
独立性公理的经济含义是，如果随机行为f不优于g，那么对于任何第三种随机行为h来说，f与h的任何复合行为a?pf?(1?p)h必然也不优于g与h的相应的复合行为b?pg?(1?p)h。从独立性公理立即可知，当fg，即f与g无差异时，复合行为a?pf?(1?p)h与b?pg?(1?p)h也无差异。
连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。实际上，连续性公理蕴含着阿基米德公理。因此，阿基米德公理是关于偏好序连续性的最弱要求。
g h f
b b g a a g f h f ?h
(a) 阿基米德公理 (b) 独立性公理 (c) 连续性公理 图5-2 预期效用公理
预期效用函数定理．设是风险选择集合D(S)上的偏好关系。具有预期效用表示当且仅当服从阿基米德公理和独立性公理。当具有预期效用表示时，的预期效用函数在仿射变换下是唯一的，即若u和v都是的预期效用函数，则必存在实数a和b?0，使得对一切f?D(S)，都有v(f)?a?bu(f)。
本定理的证明过于复杂，这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用理论》(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。
（二）预期效用的积分形式
设概率空间(?,?,P)中的自然状态集合?就是确定性条件下消费者的选择集合S，即??S?R?。这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行为?下选择到S的一个子集合B中的向量的可能性大小，即能估计出概率P{?(?)?B}，这就象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。
同前面一样，对于x?S，用?x表示取值为常向量x的随机向量，用?x表示?x的分布函数。于是可以认为，?x??x?x，从而可以认为S?D(S)?X(S)。另外，我们要求S的每个单点子集{x}(x?S)都是?的元素。这就是说，消费者能够估计出每一种随机行为?下选择到S中的一个向量x的可能性大小。
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作了这样的看待后，如果是D(S)上的偏好关系，那么同时规定了消费者在S上的偏好关系。也就是说，对于x,y?S，xy是指?x?y。
定义(可测的偏好)．D(S)上的偏好关系叫做是可测的，是指对于任何的x?S，集合{y?S:yx}和{y?S:yx}都是?的元素。
单调性公理．对任何??X及x?S，如果?(?)x几乎对所有???都成立，则?x；如果?(?)x几乎对所有的???都成立，则?x。
换个说法，单调性公理是说，对于任意的f?D(S)、A??及x?S?A，设?为f的密度函数，当??(x1,x2,?,x?)dx1dx2?dx??1时，
A(1) 如果?y(2) 如果?y?x对一切y?A成立，则f?x对一切y?A成立，则fA?x； ?x。
对此，我们作一点解释。条件??(x1,x2,?,x?)dx1dx2?dx??1是说，随机选择行为f的选择结果几乎总是出现在集合A中，即几乎总是选择A中的商品向量。(1)是说，如果A中每个向量对消费者的效用都没有x的效用大，那么随机选择f的效用也就没有x的效用大。(2)是说，如果A中每个向量对消费者的效用都不比x的效用小，那么随机选择f的效用也就不比x的效用小。
预期效用的积分表示．设(?,?,P)为概率空间，??S?R?，{x}??对一切x?S成立，是D(S)上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一个有界可测实值函数U:S?R使得对一切f,g?D(S)，都有
(fg)????U(x)df(x)??U(x)dg(x)??
S?S?而且这个函数U在仿射变换下是唯一的。
预期效用函数概念是von Neumann-Morgenstern效用函数概念的扩展，而预期效用的积分表示中的效用函数U，才是原来意义下的von Neumann-Morgenstern效用函数。鉴于此，，当一个有界可测实值函数U:S?R满足如下条件时：
??f,g?D(S)?????(fg)????U(x)df(x)??U(x)dg(x)??S?S???? ?就称U是偏好关系的von Neumann-Morgenstern(简称VNM)效用函数。积分表示定理说明，一般情况下偏好关系的VNM效用函数都是存在的。
特别地，当概率空间和偏好关系满足积分表示定理的条件且??S?R?时，存在的VNM效用函数U:R??R，从而存在通常意义下的预期效用EU：对于任何f?D(S)，
EU?EU(f)????U(x1,x2,?,x?)df(x1,x2,?,x?)
??????一般情况下，如果我们只知道风险选择集合D(S)上的某个偏好关系的预期效用函数u:D(S)?R，而不知道的VNM效用函数是否存在，那么由于u具有预期效用性质，我们可以直接认为u(f)就是随机选择行动f?D(S)的效用的预期值EU(f)。
预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率可以确定时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。
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第三节 主观概率
上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题，建立了预期效用公理体系，证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而，我们对进入预期效用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观概率”，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到，决策者可根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率”，即决策者主观上认为的某些事件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。事实上，在实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。
象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择行为的何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策？
幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇1954年构建的，1972年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面，我们对萨维奇的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的《统计分析基础》(L.J. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。
一、不肯定性行为的表述
不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客观存在的。用?表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为状态空间。用?(?)表示?的幂集，即?的所有子集之集族，也可简记为?，即???(?)。?中的元素称为事件。 用S表示一切可能出现的选择结果的集合，称为确定性选择集合。假定S是实数集合R的子集。
决策者的行为可用一个映射?:??S表示，其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自然状态：如果状态???出现，那么他就选择?(?)。但究竟选择S中哪一个结果，则不得而知，并且不知道选择到S中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不确定性行为。用X表示一切可能的不肯定性行为的全体，即X是由所有从?到S的映射构成的集合，称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为??X，集合?[?]?{?(?):???}称为?的结果集合。
注意，结果集合S中的每种结果x都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性”行为?x:??S：对任何???，?x(?)?x。称这个行为?x为确定性行为，并把?x与x等同看待。作了这个说明之后，我们今后将不在区分?x与x，并且直接用x表示?x。也就是说，我们认为S?X。
在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间X中选择一种行动，这意味着决策者在X上有一个偏好关系，它对各种行为的好坏作出了排序。由于S?X，因此X上的偏好关系确定了S上的偏好关系(仍用表示)，即可用对S中的各种结果排出好坏次序来。需要注意，对于??X和x?S，?x和?(?)x具有不同的意义：?x表示行为
而?(?)x表示结果?(?)不比结果x优，或者说把结果y??(?)也?不比确定性行为x优；
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