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以赌博为例，设有一个赌博，参赌者以概率p获得他现有收入w的x倍，以概率1?p获得他现有收入w的y倍。如果参赌者以预期效用函数u对赌博进行评价，那么该赌博的预期效用为pu(xw)?(1?p)u(yw)。显然，这种相对赌博与以前分析的赌博具有不同的结构。 对于相对风险问题，我们同样需要有一种测量消费者对相对风险的厌恶程度的尺度。幸运的是，经过与前面的绝对风险规避度量同样的分析，我们可以找到合适的度量──阿罗─普拉特相对风险规避度量：
?(w)??u??(w)w
u?(w)接着，我们应该提出这样的问题：绝对与相对风险规避度量如何随财富收入的变化而变化？下面的回答似乎是合理的：
(1) 绝对风险规避倾向r(w)随财富收入w的增加而递减。即，当消费者变得更加富有时，他将愿意接受以绝对收入表示的更多的赌博(风险规避倾向变弱)。 (2) 相对风险规避倾向?(w)随财富收入w的变化而变化的趋势不确定。当消费者更加富有时，他是否愿意去冒损失一定比例的收入的风险，是不能作出肯定的答复的。恐怕假定相对风险规避倾向不随财富收入的变化而变化，是一个并不太坏的假设。至少可以说，对于财富的一个较小比例的变化来说，不变相对风险假设是合乎实际的。
例1. 均值─方差效用 通常，风险行为的预期效用取决于风险结果的全部概率分布。但在某些特殊场合下，预期效用仅取决于某些分布的加和统计，最常见的例子是均值─方差效用函数。
例如，当货币收入的效用函数u为二次函数u(w)?w?bw2时，风险行为?的预期效用为E[u(?)]?E[?]?bE[?2]?E[?]?bE[(??E[?])2]?(E[?])2???b(?2??2),其中?为?的均值(即数学期望E[?])，?2为?的方差。可见，预期效用只是均值和方差的函数(注意，货币收入的二次效用函数具有一些不合意的表现：它在某些范围内是收入的递减函数，而且表现出递增的绝对风险规避倾向，因而通常不采用这种函数）。
又如，当?服从正态分布时，均值与方差完全刻画了?的特征，因此当消费者的风险选择只是一些正态随机变量时，预期效用就完全取决于均值与方差，成为均值与方差的函数。
更令人感兴趣的是，当货币收入效用函数具有形式u(w)??e?rw时，消费者就具有不变的绝对风险规避倾向。进而当风险行为?服从正态分布N(?,?2)时，
??E[u(?)]???e?????rw?(w)dw??er2?r(??2?)
其中?(w)为正态密度函数。注意，预期效用E[u(?)]对于??r?2/2是递增的，这意味着在
某个单调变换下，预期效用函数E[u(?)]可变换成为效用函数v(?,?2)???r?2/2，它们表示了同一偏好关系。利用v对风险行为作评价要方便得多，而且v只是均值和方差的函数。
第八节 资产需求理论
大多数人都是风险厌恶者，他们宁愿稳定的较低月收入，也不愿那种虽然平均收入很高，但月收入却忽高忽低的不稳定收入。另一方面，还是这些人，他们把自己储蓄的一部分或者
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全部投资于股票或其他风险资产上。他们为什么要这样做？为什么要冒损失部分或全部投资的风险呢？人们在投资决策和设计未来时，究竟要承担多大的风险呢？本节就来应用前面所讲的理论，讨论和研究这些问题。
一、资产的有关概念
资产是当代经济学研究的主要对象之一。这里，我们首先对有关资产的几个概念加以界定，它们包括资产、风险资产、安全资产、资产收益率、实际收益率、预期收益率。
(一) 资产概念
资产(asset)是能够向其所有者提供资金流动的特殊商品。比如公寓是资产，租赁后能够向公寓楼的所有者提供租金流动。银行储蓄帐户也是资产，它要向存款户按月支付利息，从而引起资金流动。一般来说，利息支付会再次投资于银行储蓄帐户。
拥有资产而引起的资金流动可以是显性的，例如公寓的租金收入支付、普通股的股息等都属于显性资金流动。但有些时候也可以是隐性的，表现为资产价格(或价值)的上升或下降。当资产价格(价值)上升时，上升后的价格(价值)与上升前的价格(价值)之差，称为资本收益(capital gain)。当资产价格(价值)下降时，下降前的价格(价值)与下降后的价格(价值)之差，称为资本损失(capital loss)。
例如，随着城市人口的增加，城市公寓的价格在上升，公寓所有人便得到了超出租金范围的资本收益。但是，资本收益在资产出售之前是没有实现的。资产不出售，就没有资本收益的支付。因此，在资产出售之前隐藏着一种资金流动，即资本收益(损失)是隐性的资金流动。拥有股票所引起的资金流动部分上也是隐性的，这是因为股票价格在不断变化，每一次变化都会给股民带来收益或损失。
1. 风险资产 风险资产(risky asset)是提供具有一定程度随机性的资金流动的资产。也就是说，风险资产引起的资金流动是不能事先肯定的。股票是典型的风险资产的例子，人们不能确定股票价格会涨跌多少，也不能确定上市公司是否会继续按照同样的股息向股东支付红利。尽管一谈论起风险，人们就会想到股票市场，但是风险资产绝不仅仅是股票。房产就是另一种风险资产的例子，人们不能确定地皮价格到底会涨落多少，不能确定房屋是否能够全部租赁出去，不能确定租户能否当即向房东交付房租。公司债券是又一种风险资产，债务人有可能破产，一旦破产，债务人就无法向债权人还本付息。甚至10年期或20年期的长期国债也是有风险的，这种风险不是源于政府有可能倒台破产，而是因为存在着未来不可预料的通货膨胀。如果在长期国债的到期年发生高通货膨胀，那么偿还的本息就不值了，导致国债贬值。
2. 安全资产
安全资产(riskless or risk-free asset)是引起确定性资金流动的资产。可以认为，短期国库券(Treasury Bill)是安全资产或者是几乎无风险的资产。这些债券的期限很短，只有个把月的时间，因而几乎不受通货膨胀因素的影响，人们完全可以信赖政府不会在这类债务问题上发生违约。银行存折和短期存款单，也都属于安全资产之列。
(二) 资产收益
资产既具有本身的价格(价值)，又引起一定的资金流动。资产收益(return on an asset)就是衡量一项资产引起的资金流量相对于资产本身价格(价值)大小的一种概念，通常以“率”来表达。
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1. 资产收益率
资产收益率(rate of return on an asset)是资产引起的资金流量(息金)同资产本身价格(本金)之比。比如有一种面值1000元的债券，购买者每年可得到100元的利息支付，于是该债券的价格为1000元，资金流量为100元，资产收益率为10％。又如有一幢公寓楼资产，去年价格为100万元，今年涨至110万元，还另加有5万元的租金收入，于是这幢公寓楼引起的资金流动为15万元，本金100万元，资产收益率15％。又如某人年初花了80元购买了某种股票一股，结果到年底时该股票价格跌至72元(即资本损失8元，资本损失率10％，当年他得到了4元股息，于是持有该股票而引起的资金流动为-4元，本金80元，资产收益率为-5％。
人们之所以要购买和持有资产，是因为资产具有收益率，即资产能引起资金流动。通过资产之间的收益率比较，可帮助人们对资产进行选择。
2. 实际收益率
上述的资产收益率，没有考虑通货膨胀因素的影响，因而是一种名义收益率(nominal rate of return)概念。当一个人把他的积蓄投资于股票、债券、房地产或其他资产时，他总是希望能够得到高出通货膨胀率的资产收益率，这样才能使他以延迟消费的方式在将来得到更多的消费。实际收益率(real rate of return)就是扣除了通货膨胀因素以后的收益率概念，具体是指资产收益率(名义收益率)与通货膨胀率之差。例如，当每年的通货膨胀率为$5％$时，上面所说的债券、公寓楼、股票的实际收益率分别是5％、10％、-10％。
3. 预期收益率
大多数资产都是风险资产，投资者无法事先知道来年的资产收益具体是多少。例如，公寓楼的价格也可能下跌，股票价格可能回升，但具体涨落情况如何，不得事先而知，这就导致了资产收益的不确定。另外，来年通货膨胀率也是不能确定的，因而导致实际收益率的不确定。然而，理性投资者能够根据自己掌握的信息、知识等来作出判断，给出一个预期收益率(expected rate of return)。通过比较预期收益率，投资者可对风险资产进行选择。 这就是说，风险资产的收益率受随机因素的影响，是一个随机变量。如果m表示一种风险资产，Rm为该资产的收益率的话，那么Rm就受到许多随机因素???的影响，是?(自然状态空间)上的一个随机变量。设Rm的分布函数为F(或分布密度函数为?)，则风险资产m的预期收益率为：
E[Rm]??????xdF(x)??????x?(x)dx
风险资产在某一年度的真实收益率(actual rate of return)可能会比预期收益率高出许多，也可能比预期收益率低得不少。但是经过相当长的时期后，收益率的平均值就接近于预期收益率。
安全资产也可看成是风险资产，只不过是退化的风险资产而已。安全资产的收益率不受随机因素的影响，因而是常数。如果Rf表示某项安全资产的收益率，那么Rf可看成是一个退化的随机变量：对于任何自然状态???，Rf?Rf(?)?常数。该安全资产的预期收益率也就是它的收益率：E[Rf]?Rf。
不同的资产具有不同的预期收益率。下表给出了美国1926—1991年间普通股票、长期公司债券和短期国库券的收益与风险情况。
表1 美国(1926--1991)：投资风险与收益
普通股 长期公司债券 实际收益率(％) 8.8 2.4 风险(标准差)(％) 21.2 8.5 管理资源吧·管理人自己的下载网站
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短期国库券 0.5 3.4 从本表可以看出，普通股的实际收益率接近9％，而短期国库券的实际收益率连1％都不到。然而还是有许多人购买了预期收益率很低的短期国库券，而没有投资于预期收益率很高的普通股票。为什么呢？答案是：人们对资产的需求不只依赖于预期收益率，而且同资产的风险程度有关。普通股票的风险(标准差)高达$21.2％$，而短期国库券的风险只有$3.4％$．本表反映出资产预期收益越高，风险也就越大。显然，在资产投资上，人们需要对资产的收益与风险作出权衡，这正是下面要研究的问题。
二、资产组合选择
当消费者面对一种风险资产m时，他究竟要把自己储蓄的多大比例拿出来用于风险资产投资呢？现在我们集中研究这个问题。为此，我们假定只有两种资产：风险资产m和安全资产f，消费者把他的储蓄不是用于风险资产投资，就是用于安全资产投资，或者选择风险资产与安全资产的一种组合进行投资。用?表示消费者投资于风险资产m的资金数量占他的储蓄的比例，则消费者投资于安全资产f的资金占储蓄的比例为1??。我们的问题是，消费者如何决定这个比例?？
(一) 收益与风险的权衡
Rm代表风险资产m的资产收益率(这是一个随机变量)，Rf代表风险资产f的资产收益
2率(这是一个常数)。用rm表示m的预期收益率，即rm?E[Rm]，?m表示Rm的方差。用rf表
示f的预期收益率，即rf?E[Rf]?Rf。风险资产m的预期收益率rm一定要大于安全资产f的收益率rf，否则对于风险厌恶者来说，就不会有人去投资于风险资产，而要把储蓄全部投资于安全资产。
用R?表示以比例?把储蓄投资于风险资产m，以比例1??把储蓄投资于安全资产f的
2资产组合投资的收益率，r?表示这个资产组合的预期收益率，即r??E[R?]。用??表示R?的方差。我们有：
R???Rm?(1??)Rf?Rf??(Rm?Rf)r???rm?(1??)rf?rf??(rm?rf)
???E[(R??r?)2]??E[(Rm?rm)2]???m从而?????m，r??rf??(rm?rf)?rf?rm?rf?m??。注意，?是希望确定的量，因而要把
?作为变量看待。这样，?,r?,??都是要确定的量，要视为变量；rf,rm,?m为事先已知的
数，可视为常数。r?和??所服从的如下关系式：
rm?rfr??rf??m??
称为资产组合选择中的预算约束或者预算线方程，它表达了资产组合选择的收益与风险之间
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的关系，并且告诉我们，资产组合选择的预期收益率随着风险(方差)的增大而增大(如图5-7所示)。鉴于此，我们把预算线方程的斜率(rm?rf)/?m称为风险价格，它说明投资者为了得到更高的预期资产收益，要遇到多么大的风险。
(二) 均值─方差效用
如果投资者不愿意承受任何风险，就可把他的全部资金都投资于安全资产，获得固定的资产收益率rf；如果想获得较高的资产收益，就不得不承受一定的风险。比如可以把全部资金都投资于风险资产m(即??1)，获得预期收益率rm，但同时承受?m这么大的风险。也可以把一部分资金投资于安全资产，另一部分资金投资于风险资产，获得一个介于rf和rm之间的预期收益率r?，但同时承受着一个大于零而小于?m的风险??。
图5-7显示的风险─收益平面上的每一个点 r
但只有预算线上的点才是 U3 U2 U1 (?,r)都代表一种资产组合，
有效的资产组合。风险—收益平面上哪一个点代表了rm 预算线 最优资产组合呢？事实上，投资者在选择资产组合时， 有一个主观上的评价，这个主观评价可以用效用函数r* 来表达，而且在许多场合下(比如上一节例1所述)这
个效用函数就是风险行动的均值与方差的函数。也就 是说，对于风险─收益平面上的每个点(?,r)，都有一
r 个实数U(?,r)（即效用量）与之对应。这个效用函数 f U叫做资产组合的均值─方差效用函数，它具有这样 ?* ?m ? 的性质：风险(方差)越小，效用越大；预期收入(均值)图5-7 均值方差效用：收益与风险的抉择 越大，效用越大。
图5-7中，无差异曲线U3代表的效用水平比U2高，U2比U1高。U3在预算线的上方，与预算线不相交，因此U3上各点代表的资产组合都是不可行的，因而投资者不得选择U3上的点。U1虽然与预算线相交，但交点处的效用没有达到最大，还可得到进一步的改进，因而不是最优投资组合，也不能成为投资者的最终选择。U2与预算线相切，切点代表的资产组合，既是有效的投资方案，又是所有有效投资方案中效用最大者，因而可作为投资者的最终选择。
以上分析表明，只有无差异曲线的切点代表的资产组合，才是投资者的最优投资方案，是投资者的最终选择，此时的风险与收益分别是?*和r*。确定(?*,r*)的方程是：
rm?rf???(?*,r*)U??(?*,r*)Ur?m
?(?,r)?0,Ur?(?,r)?0对一切(?,r)成立。一旦(?*,r*)得以确定，资产组合中风险其中U?资产所占的比例?*就随之确定了：?*??*/?m。
(三) ?系数的意义
我们对方程r?rf??(rm?rf)中?系数的意义作一点解释。
1. ?系数与风险规避
从上面决定?的公式知道，?是资产组合的风险(标准差)与特定的风险资产的风险(标准差)之比。不同人对待风险的态度不同，他们在风险与收益的选择上也就表现不同。对风险越是厌恶的人，他选择的资产组合也就越靠近rf(即越靠近安全资产)。如图5-8所示，投资者A比投资者B具有更强的风险规避倾向，A的最优选择点(?A,rA)就位于B的最优选择点
即?A??B且rA?rB。这说明对风险越是厌恶的人，他的?系数也就越小(即(?B,rB)的左边，
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