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当成一种行为?y来看待的话，确定性行为y不比确定性行为x优。
(一) 状态分划
为了研究不确定性，人们往往会依据某种原则对影响人们选择的各种可能的不确定性因素(即自然状态)进行分门别类。这种做法体现为对状态空间进行分划。所谓状态空间?的一种分划，是指由?的有限个互不相交的子集构成的集族F?(Fi)m?{F1,F2,?,Fm}，满足条件F1?F2???Fm??。
(二) 复合行为
设F?(Fi)m?{F1,F2,?,Fm}是状态空间?的一个分划，?1,?2,?,?m是一系列不确定性行为，即X中的一个有限序列。我们可以把这m个行为复合在一起，构成一种新的不确定性行为?：对于每个?????im当??Fi时，?(?)??i(?)(i?1,2,?,m)。这个新行为?1Fi，
?叫做行为?1,?2,?,?m的复合行为，并记作??(?1F1,?2F2,?,?mFm)。
容易看出，对于结果集合为有限集合的不确定性行为??X，设?[?]?{x1,x2,?,xm}，并令Fi?{???:?(?)?xi}(i?1,2,?,m)，则F?(Fi)m?{F1,F2,?,Fm}是?的一个分划并且??(x1F1,x2F2,?,xmFm)。
复合行为??(?1F1,?2F2,?,?mFm)的经济意义是什么呢？实际上，这里的复合行为类似于上一节中所说的复合彩票。它是说：如果事件F1发生，则按照计划?1进行不确定性的选择；如果事件F2发生，则按照计划?2进行不确定性的选择；如此等等，如果事件Fm发生，则按照计划?m进行不确定性的选择。
经常碰到的是两个行为的复合。设?,??X，F??，Fc???F为F的余集。?与?的复合行为(?F,?Fc)，就是通过事件F的发生与否来决定的一种新的不确定性行为：如果事件F发生，就采取行为?；否则，采取行为?。
(三) 条件偏好
设F??(?)（即F为一事件），?,??X?X(S)为任意两个不确定性行为，为X上的一个偏好关系。如果对任何的??X，都有(?F,?Fc)作?(?F,?Fc)，则称?依事件F不
F优于?，或者称?依事件F不比?优，或者称为?依事件F不次于?，记作?F?，或记
?。这种由事件F决定的偏好关系
FF，称为条件偏好关系。显然，当F?Φ时，
F对任何?,??X，都有?
?；而当F??时，偏好与条件偏好
一致。
(四) 零事件
设F??(?)。如果对于任何?,??X?X(S)，都有?称F是非零事件。显然，空集Φ是零事件。
F?，则称F是零事件。否则，
二、主观概率公理体系
萨维奇对X上的偏好关系提出了以下六条公理。
确认性公理．对任何F??(?)及任何?,?,?,??X，(?F,?Fc)(?F,?Fc)(?F,?Fc)。
(?F,?Fc)当且仅当
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确认性公理蕴含着对任何事件F??，条件偏好
F是非空偏好。这条公理也表明了一种
独立性：对于两种不确定的选择行为，决策者关心的只是这两种选择有何不同，他对这两种行为的好坏评价也就只取决于两种选择的不同之处，而与相同之处无关。也就是说，与行为
??X相比，决策者是否更偏好于行为?，取决于区别集合{???:?(?)??(?)}，而与具有
相同选择结果的集合{???:?(?)??(?)}无关。简言之，不确定性选择上的差别，决定着决策者的偏好。
状态独立公理．对任何非零事件F??(?)，任何x,y?S及任何??X，x(xF,?Fc)(yF,?Fc)。
y当且仅当
状态独立公理表明，决策者在结果集合上对各种结果作出的好坏排序，不依赖于任何非零事件，从而也与自然状态无关。同时这条公理也表明，如果两种不确定行为仅仅在一种自然状态下的选择结果不同，那么着两种不同选择结果之间的优劣比较决定了这两种行为之间的优劣比较。
定性概率公理．对于任何F,G??(?)及确定性行为x,y,x?,y??S，设x?y且x??y?，则(xF,yFc)(xG,yGc) 当且仅当(x?F,y?Fc)(x?G,y?Gc)。
定性概率公理保证了事件域?(?)上实质上存在着某种定性的概率关系，定义如下：对于任何F,G??(?)，事件F至少与事件G等可能发生，记作Fx?y，使得(xF,yFc)(xG,yGc)。
* G，是指存在x,y?S，
非退化公理．存在x,y?S满足x?y。
无原子公理．对于任何?,?,??X，如果???，则存在?的分划F??F1,F2,?,Fm?，使得??(?Fic,?Fi)和(?Fic,?Fi)??对一切i?1,2,?,m成立。
无原子公理起着连续性假设的作用，它还（与非退化公理一道）蕴含着状态空间的无限性。进一步，无原子公理与如上所述的各公理一道，蕴含着选择集合X按照序拓扑可成为一个连通的拓扑空间。
条件单调性公理．对任何?,??X及F??(?)，如果???(?)对一切??F成立，则
?F?；同样，如果?(?)??对一切??F成立，则?F?。
三、萨维奇定理
函数P:?(?)?R叫做状态空间?上的有限可加概率测度，是指P具有以下三条性质：(1) 对任何F??(?)，都有0?P(F)?1， (2) P(?)?1，
(3) 对于任何有限个两两不交的集合F1,F2,?,Fm??(?)，都有P(?im?1Fi)??i?1P(Fi)。 测度P叫做是无原子测度，是指对任何实数p?[0,1]及集合A,B??(?)，A?B，都存在C??(?)满足：(1)A?C?B, (2)P(C)?pP(A)?(1?p)P(B)。
萨维奇定理．对于行为空间X上的任一偏好关系来说，下面两个命题等价：
(1) 服从确认性公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件
单调性公理。
(2) ?上存在唯一的有限可加无原子概率测度P，存在一个在仿射变换下唯一的有界函数
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使得对任何?,??X，?u:S?R，
?当且仅当??u(?(?))dP(?)???u(?(?))dP(?)。
萨维奇定理指出了保证主观概率和VNM效用函数唯一存在的不确定性经济行为公理。不过这里的概率稍不同于通常所说的概率，它只具有有限可加性，而不具有可数可加性，这是因为在无限状态空间?上，当事件域为?的一切子集之集族时，满足可数可加性的概率是不存在的。因此，经典概率论中总是要求事件域只是样本空间的一部分子集所组成的集族，然后才要求概率具有可数可加性。如果我们仿效经典概率论的做法来研究主观概率问题，那么我们所得到的主观概率就会同经典概率论中使用的概率具有同样的性质，因而可用经典概率处理主观概率问题。
例1. 主观概率的测定
我们以赌博为例，简要说明一下如何测定主观概率的问题。设赌博的结果只有两种：要不然获得收入b，要不然获得收入w(b?w)。因此，确定性选择集合S?{b,w}。设?为状态空间，?为事件域，它是一个??代数。
一切可能的赌博所构成的集合X可表示为：X?{pb?(1?p)w:p?[0,1]}，其中pb?1?p)w是说，获得收入b的概率为p，获得收入w的概率为1?p。现在，消费者不知道一次赌博中获得这两种收入的概率分布情况，但消费者能够对各种可能的赌博作出好坏判断，即他在X上有一个偏好关系 。我们看一看如何从这个偏好关系来测定消费者在赌博评价中的主观概率P:??[0,1]。
任意给定A??，考虑这样的赌博：当事件A发生时，获得收入b；当A不发生时，获得收入w。这个赌博可表示为g?(bA,wAc)，即g:??S，当??A时，当??Acg(?)?b；时，g(?)?w。显然，g?X，即g在我们考虑的赌博范围之内。这样，在X中必然存在着一个赌博gA?pAb?(1?pA)w满足g。 gA（即消费者认为g与gA无差异）
假设该消费者认为b?w（即高收入比低收入好，从而偏好是非退化的），并且认为获得赌博中获得高收入的可能性越大越好（即pb?(1?p)w?qb?(1?q)w当且仅当p?q。从而偏好满足独立性公理）。于是与g无差异的赌博gA中的实数pA是唯一确定的，这个pA就可认为是消费者对事件A发生的可能性大小的主观判断——主观概率。令P(A)?pA，
可以证明这样定义的函数P:??R服从概率的基本性质，因而可看作适赌博者的主观概率测度，也即(?,?,P)就是赌博者的主观概率空间。
萨维奇定理和上面事例说明，只要观察到的选择行为服从某些合理似然的公理，那么主观概率和效用函数都可从观察到的行为构建出来。其概率也必然服从贝叶斯定律：
P(AB)?P(BA)P(A)P(B)
这里A,B为任意两个事件，P(AB)为条件概率，即事件B发生的情况下事件A发生的概率。比如彩票抽奖，开始时人们对中奖概率各有自己的判断，当然这个概率是很低的，前来抽彩的人不会那么多。当抽彩进行了一段时间后，如果奖品还未被抽走，那么人们就会修正以前作出的中奖概率判断，得出新的判断，即把先前的概率修改成为了条件概率。修改后的概率较以前要高，从而这个时候他就可能决定抽彩。
贝叶斯定律说明了理性决策者如何根据事实(或依据得到的信息B)来调整和修正他的主观概率判断。如果把贝叶斯公式中的A解释为某一特定的假设H，把B解释为推断假设H为真的证据，把P(A)解释为决策者认为假设H为真的主观概率P(H)(即P(A)?P(H))，那么
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贝叶斯定律说明了决策者如何根据证据B来调整他相信假设H为真的概率。 贝叶斯定律是重要的，它把先验概率P(A)(即在观察证据前假设为真的概率)与后验概率P(AB)(即在观察证据后假设为真的概率)联系在一起，成为大多数理性学习行为模型的基础。
第四节 两个悖论
到目前为止，我们的分析似乎是直观的、合乎实际的，而且所建立的理论似乎是完美的。但要注意，我们并不能由此就说，该理论是对决策者实际行动的确切描述。且看下面的关于预期效用和主观概率的两个悖论。
悖论1. 阿莱悖论(Allais paradox)(关于预期效用的悖论)
现有四种彩票：A,B,C,D，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示。
彩票 C A B D 奖金(元) 100 500 100 0 100 0 500 0 获奖概率 100％ 10％ 89％ 1％ 11％ 89％ 10％ 90％ 通过调查发现，很多人都认为A?B且D?C，即偏好于A而非B，偏好于D而非C。这可能是因为A与B相比，购买彩票A可稳稳当当地得到100元奖金，而购买彩票B虽然以极大的可能性得到100元奖金和以较小的可能性得到500元的更高奖金，但同时还冒有一文不得的风险。既然购买B最可能得到的奖金仍是100元，因此B没有A好，或者说A比B好。对于彩票C和D来讲，购买D获得500元高额奖金的可能性仅比购买C获得100元低额奖金的可能性小1％，而且500元与100元之间的差额不算小，因此购买D比购买C要好。
设预期效用函数为u，那么
u(A)?u(100)u(B)?0.1?u(500)?0.89?u(100)?0.01?u(0)u(C)?0.11?u(100)?0.89?u(0)u(D)?0.1?u(500)?0.9?u(0)
而且应该有u(A)?u(B)及u(C)?u(D)。
从u(A)?u(B)可以推出0.11?u(100)?0.1?u(500)?0.01?u(0)。在此式两边加上0.89?u(0)可得：0.11?u(100)?0.89?u(0)?0.1?u(500)?0.9?u(0)，即u(C)?u(D)，这与实际调查结果D?C相矛盾。
阿莱悖论说明，实际中人们往往并不是按预期效用大小来对风险行为进行评价的。因此，预期效用理论也有不切实际的地方和时候。
悖论2. 艾尔斯伯格悖论(Ellsberg paradox)(关于主观概率的悖论)
袋中有红、蓝、绿三种颜色的球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博：
赌博A：从带中摸出一球，如果为红球，可得1000元。 赌博B：从带中摸出一球，如果为蓝球，可得1000元。 赌博C：从带中摸出一球，若不是红球，可得1000元。
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赌博D：从带中摸出一球，若不是蓝球，可得1000元。
面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为A优于B，C优于D。这种偏好可能是由于A的确定性程度比B高，C的确定性程度比D高。但这样的偏好不符合主观概率理论。
为了说明上述偏好违背主观概率理论这一事实，用P表示赌博者所依据的主观概率，u表示在这个主观概率下的预期效用函数，F表示摸出红球这一事件，G表示摸出蓝球这一事件。则Fc表示摸出的球不是红球，Gc表示摸出的球不是蓝球。
从概率论知识可知，P(Fc)?1?P(F)，P(Gc)?1?P(G)。计算一下四种赌博的效用：
u(A)?P(F)u(1000)?(1-P(F))u(0)u(B)?P(G)u(1000)?(1-P(G))u(0)u(C)?P(Fc)u(1000)?(1-P(Fc))u(0)?(1-P(F))u(1000)?P(F)u(0)u(D)?P(Gc)u(1000)?(1-P(Gc))u(0)?(1-P(G))u(1000)?P(G)u(0)
A优于B，即u(A)?u(B)，因此(P(F)?P(G))u(1000)?(P(F)?P(G))u(0)。 C优于D，即u(C)?u(D)，因此(P(F)?P(G))u(1000)?(P(F)?P(G))u(0)。
如此得到的两个不等式相互矛盾，这说明按照主观概率理论不可能有A?B且C?D。然而事实却是如此，调查发现A?B且C?D却是同时发生了。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。
以上两个悖论说明，理论与实际之间存在着矛盾。对于这些矛盾，一些经济学家认为是由于理论的不完善所致，需要建立新的理论或模型来重新解释经济行为。另一些经济学家则认为，出现这些悖论是因为经济人发生了“视觉错误”。比如人们在某些情况下对判断距离无能为力，但这不意味着需要发明一种新的距离概念。因此，预期效用理论以及建立在主观概率基础上的预期效用理论都是正确的。
第五节 风险大小的测定
在带有不确定性的环境中，消费者会意识到他所做出的选择具有一定的风险性。比如说，由于选择结果的不确定，最终的结果可能会让消费者感到满意，也可能会令消费者失望。又如“事后诸葛”常有人在，许多在不确定条件下做出的选择，事后看起来并不一定是最优的。怎样才能在不确定的条件下，使决策的风险降低到最低程度？这涉及到如何衡量风险的问题。显然，风险的大小既与环境的不确定性程度有关，又与消费者对待风险的态度有关。本节就来讨论如何区别消费者对待风险的不同态度以及如何度量风险大小的问题。
一、对待风险的不同态度
第一节例2中对赌博的分析，适用于任何风险行为的研究。从这个例子得到的启示是，一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上。有些人善于更多地想到会出现坏结果，因而他们在决策时比较谨慎，表现出对风险的厌恶态度。另一些人则喜欢去想较好的结果变成为现实，从而他们具有冒险精神，表现出对风险的喜好态度。还有一些人在风险面前表现
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