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越多，他越能做出更好的预测，从而减少风险。从这个意义上说，信息是有价值的商品，使用信息应当为信息有所支付，信息的价值也就来自于信息所减少的风险。
需要说明的是，不确定性分为主观不确定性和客观不确定性，当消费者面对的是主观不确定性时，信息的获取可以改变主观概率分布，从而减少主观不确定性造成的风险。当消费者面对客观不确定性时，即使消费者获取了完全信息，风险依然客观地存在着，因而并不能减少客观风险。所以，我们这里所说的信息的价值，来自于获取信息所减少的主观风险。
完全信息的价值是指一种选择结果在完全信息下的预期价值与不完全信息下的预期价值之差。下面，我们以例来说明信息的价值。
例5. 服装订购
某商店经理需要决定到底订购多少件秋季服装。如果订购100件，每件订价180元；如果订购50件，每件订价200元。每件服装的售价为300元，售不出去可以退还，但只能返还订购价的一半给商店。假若没有更多的信息，该商店经理只能相信售出量为100件的概率是0.5，售出量为50件的概率也是0.5。下表给出了两种情况下商店的利润情况。
表4 服装销售利润情况
订购50件 订购100件 销售50件 5000元 1500元 销售100件 5000元 12000元 预期利润 5000元 6750元 在信息不完全的情况下，如果该商店经理是一个风险中立者(或喜好风险爱好者)，那么他(她)会选择订购100件。如果他(她)是风险厌恶者，就可能会选择订购50件，以确保5000元的利润。
在完全信息的情况下，不论销售量是50件，还是100件，商店经理都能正确地做出订购件数的选择。如果销售量是50件，他(她)就订购50件，得到5000元利润；如果销售量为100件，他(她)就订购100件，获得12000元利润。由于销售50件和销售100件的概率都是0.5，因此完全信息情况下商店的预期利润为8500元。
按照不完全信息下的最高预期利润计算，订购100件时，完全信息的价值为8500-6750=1750元。因此，为了得到对销售量的准确预测，值得付出1750元的代价。即使预测并不完美，也值得对这样的能够提供更好的来年预测的市场营销研究进行投资。
第七节 风险规避度量
在分析消费者的风险规避行为时，常常要对风险规避的程度进行测量，这就需要有一种度量风险规避的尺度。通常，要比较两个消费者对待风险的厌恶程度，可从风险金的角度来考虑，愿意付出较多风险金的消费者，其对风险的厌恶程度就较强。直观上看，这种考虑等价于比较两个消费者的VNM效用函数哪一个更凹一些，VNM效用函数越凹，消费者越厌恶风险。下面我们以货币收入的VNM效用函数为代表，考察风险规避的度量问题。
一、风险规避度量
设消费者的风险选择空间X是R(实数集合)上的随机变量的全体(这里，自然状态的概
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率空间(?,?,P)事先已确定），现有两个消费者A和B，消费者A的预期效用函数为uA，消费者B的预期效用函数为uB。对于??X，用RPA(?)表示消费者A在风险行动?中愿意付出的风险金，用RPB(?)表示消费者B在风险行动?中愿意付出的风险金。如果RPA(?) ?RPB(?)，就称在风险行动?中消费者A比消费者B具有更强的局部风险规避倾向。如果在所有的非退化风险行动??X中消费者A比消费者B具有更强的风险规避倾向，则称消费者A比消费者B具有更强的全部风险规避倾向。所谓非退化风险行动?，是指?的取值为常数的可能性为零，即?是确实带有风险的行动。
(一) 局部风险规避度量
阿罗(K.J. Arrow, 1965)和普拉特(J.W. Pratt, 1964)分别提出了测量消费者的风险规避倾向程度的阿罗─普拉特度量。
直观上看，预期效用函数u越凹，消费者的风险规避倾向越强。因此，可以考虑用预期效用函数的二阶导数u??(w)来对风险规避的程度加以度量。但我们知道，预期效用函数只是在仿射变换下具有唯一性，所以用二阶导数来度量风险规避程度，会因表示同一偏好的效用函数的不同而发生变化。为此，需要对这种度量进行标准化，用一阶导数u?(w)去除二阶导数u??(w)。这样，便得到了一个合理的度量，即阿罗─普拉特度量：
r(w)??u??(w) ?u(w)这里w?R表示消费者的收入(w等同于处处取值为w的随机变量?w?X)。准确地说，r(w)叫做收入为w时的局部绝对风险规避度量。
下面以赌博为例，对这一度量的合理性作一点解释。 y 设消费者初始拥有w元的财富，u为该消费者的预期效 w处的接受集 用函数。用(x,y)表示这样的赌博：获得收入x的概率为 A(w,p) p，获得收入y的概率为1?p(一般来讲，x和y中有 x 一个为负数，表示赌博有输有赢）。消费者否接受这个赌 接受集的边界 博，取决于如下不等式是否成立：
斜率??p/(1?p) pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w) 使这个不等式成立的赌博(x,y)的全体，称为消费者在
w处的接受集,记作A(w,p)(如图3-5所示)，即
图5-5 风险厌恶者的接受集及其边界 A(w,p)?{(x,y)?R2:pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w)}
2?{(x,y):(x?0)?(y?0)}。 假定u?(w)?0对一切w?R成立。于是，A(w,p)?R?对于风险厌恶者来说，接受集是凸集。事实上，对于任何(x?,y?),(x??,y??)?A(w,p)及任何t?(0,1)，令(x,y)?t(x?,y?)?(1?t)(x??,y??)?(tx??(1?t)x??,ty??(1?t)y??)，我们有：
pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?pu(w?tx??(1?t)x??)?(1?p)u(w?ty??(1?t)y??)?pu(t(w?x?)?(1?t)(w?x??))?(1?p)u(t(w?y?)?(1?t)(w?y??))?ptu(w?x?)?p(1?t)u(w?x??)?(1?p)tu(w?y?)?(1?p)(1?t)u(w?y??)?t[pu(w?x?)?(1?p)u(w?y?)]?(1?t)[pu(w?x??)?(1?p)u(w?y??)]?tu(w)?(1?t)u(w)?u(w)(?(x?,y?),(x??,y??)?(A(w,p))(?u是凹函数)
这说明(x,y)?t(x?,y?)?(1?t)(x??,y??)?A(w,p)。从而A(w,p)是凸集。
接受集A(w,p)的边界（即与w无差异的赌博(x,y)的全体）是集合?A(w,p)：
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?A(w,p)?{(x,y)?R2:pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w)}
它可通过方程式pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w)所隐含的函数关系式y??(x)来表达。应用隐函数求导法，在该方程两边对x(在(x,y)?(0,0)处)求导得到：
pu?(w)?(1?p)u?(w)??(0)?0
由此可知，接受集的边界?A(w,p)在点(0,0)处的切线斜率为
dydx???(0)??p1?p
斜率dy/dx??p/1?p)说明了什么？为了回答这个问题，注意，接受集的边界?A(w,p)在点(0,0)处的切线方程为：y??[p/(1?p)]x，即 y
因此，接受集的边界?A(w,p)在点(0,0) A(w,p) px?(1?p)y?0。
处的切线上的任何点(x,y)所代表的赌博是公平赌博(参 接受集 加赌博的预期总收入p(w?x)?(1?p)(w?y)等于不赌的 x 确定性收入w)。风险厌恶者在公平赌博面前，认为不赌比 赌好，因此他的接受集必是切线右上方的某个凸集(不包括 NA(w,p) 切线在内，但代表不赌博的(0,0)点出外)。风险中立者的 不接受集 切线 接受集是切线右上方整个区域（包括切线在内）。风险爱好
者的接受集必然要超出切线的右上方部位，延伸到切线的
图5-6 风险爱好者的接受集及其边界
左下方。实际上，风险爱好者的不接受集
NA(w,p)?{(x,y)?R2:pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w)}是位于切线左下方部位的某个凸集(如图5-6所示)。
了解了切线的意义后，可见接受集的边界在(0,0)处的切线的斜率dy/dx??p/(1?p)说明了消费者接受较小赌博(即(0,0)附近的赌博)的可能性大小。也就是说，接受集向我们说明了消费者恰好愿意接受一个较小赌博的可能性大小。
计算接受集的边界在(0,0)处的曲率(即二阶导数)???(0)，办法是对上面决定y??(x)的方程pu(w?x)?(1?p)u(w?y)?u(w)两边对x求二阶导数，可得
pu??(w?x)?(1?p)u??(w?y)[??(x)]2?(1?p)u?(w?y)???(x)?0
再把(x,y)?(0,0)和??(0)??p/(1?p)代入，即可得到：
???(0)??u??(w)p?r(w)
(1?p)2u?(w)(1?p)2p或者写成：r(w)?[(1?p)2/p]???(0)。由于???(0)只与w处的接受集A(w,p)有关，而p和
(1?p)反映的是消费者恰好愿意接受较小赌博的可能性大小，因此阿罗─普拉特度量r(w)是一个不随(表示同一偏好的)效用函数的变化而变化的绝对量，即r(w)只与偏好关系有关，而与表示片好的效用函数具体形式无关。另外，r(w)越大，接受集的边界在(0,0)处的弯曲程度(即曲率???(0))越大，这说明预期效用函数在w附近越凹，因而消费者对待风险的厌恶倾向越强。
(二) 全部风险规避度量
很多情况下，我们都需要对全部风险规避进行度量，即需要说明一个消费者是否比另一个消费者对所有风险活动都具有不弱或更强的风险规避倾向。一般来说，有三种方式可以表达这一概念。
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第一种方式是利用阿罗─普拉特度量函数对全部风险规避进行度量。
消费者A的VNM效用函数为uA，消费者B的VNM效用函数为uB。对于w?R，用rA(w)表示消费者A的阿罗─普拉特风险规避度量函，用rB(w)表示消费者B的阿罗─普拉特风险规避度量函数。如果对任何w?R，都有rA(w)?rB(w)?rA(w)?rB(w)?，就称消费者A比消费者B具有更强(不弱)的全部风险规避倾向。
第二种方式是比较两个消费者的VNM效用函数凹的程度。 消费者的效用函数越凹，他的全部风险规避倾向越强。即，如果存在递增的(严格)凹函数g，使得对所有的w?R，都有uA(w)?g(uB(w))，那么就称消费者A比消费者B具有不弱(更强)的全部风险规避倾向。
第三种方式是比较两个消费者对所有风险行动愿意付出的风险金大小。 对于同样的风险行动，愿意付出较多风险金的消费者，其全部风险规避倾向较强。即，如果对所有(非退化)的??X，都有RPA(?)?RPB(?)?RPA(?)?RPB(?)?，就说消费者A比消费者B具有更强(不弱)的全部风险规避倾向。
下面的普拉特定理指出，表达全部风险规避度量的这三种方式相互等价。
普拉特定理(严格形式)．设uA和uB为两个递增、二阶可微、凹的财富收入VNM效用函数，X为风险选择空间（即某概率空间上随机变量的全体）。则下面三个条件相互等价： (1) 对任何w?R，都有rA(w)???u?u??(w)A(w)??B?rB(w)；
?u?(w)u(w)AB(2) 存在递增的严格凹函数g，使得对任何w?R，都有uA(w)?g(uB(w))；
(3) 对一切??X，Var(?)?0(即非退化)，都有RPA(?)?RPB(?)。
普拉特定理(非严格形式)．设uA和uB为两个递增、二阶可微、凹的财富收入VNM效用函数，X为风险选择空间（即某概率空间上随机变量的全体）。则下面三个条件相互等价： (1) 对任何w?R，都有rA(w)???u?u??(w)A(w)??B?rB(w)；
?u?(w)u(w)AB(2) 存在递增的凹函数g，使得对任何w?R，都有uA(w)?g(uB(w))；
(3) 对一切??X，都有RPA(?)?RPB(?)。
要证明普拉特定理，需要下面的詹森(Jenson)不等式。
詹森不等式．设f是一个实值凹函数，?为任一随机变量，则E[f(?)]?f(E[?])。进而如果f是严格凹的，则E[f(?)]?f(E[?])。
非严格形式的普拉特定理证明起来要简单一些，因此我们选择非严格式的普拉特定理进行证明。至于严格形式的普拉特定理，其证明思路是类似的。
非严格式普拉特定理的证明 (1)?(2)．记UB?{uB(w):w?R}，定义函数g:UB?R如下：对任何x?uB(w)?UB (w?R)，g(x)?uA(w)。从uA和uB的递增性和可微性可知，函数g的定义没有问题，而且g是递增的、二阶可微的、且对于任何w?R，都有uA(w)?g(uB(w))。在此式两边对w求导数可得：
??u?A(w)?g(uB(w))uB(w)2???????u?A(w)?g(uB(w))[uB(w)]?g(uB(w))uB(w)
??注意，u?A(w)?0且uB(w)?0，因此g(x)?0对一切x?uB(w)?UB成立。以第一个方
程除第二个方程可得：
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??u?g??(uB(w))u?A(w)B(w) ?u?(w)?B??u?(w)g(u(w))u(w)ABB移项整理，并注意(1)成立，即rA(w)?rB(w)，则可得到：
??g??(uB(w))u?u?A(w)B(w)u?(w)???rB(w)?rA(w)?0 B?g?(uB(w))u?(w)u(w)AB从而对任何w?R，都有g??(uB(w))?0，这说明g是凹函数。(2)得证。
(2)?(3)．设??X任意给出，记w?E[?]，则
uA(w?RPA(?))?E[uA(?)]?E[g(uB(?))]?g(E[uB(?)])?g(uB(w?RPB(?))) ?uA(w?RPB(?))从uA的递增性可知，RPA(?)?RPB(?)。(3)得证。
(3)?(1)．设w?R任意给定。选定一随机变量??X使E[?]?0且?2?Var(?)?0(这样的?一定存在）。对任何实数t?[0,1]，定义随机变量?t为：?t?w?t?，则E[?t]?w且
Var(?t)?t2?2。记?A(t)?RPA(?t),?B(t)?RPB(?t)。显然?A(0)?0,?B(0)?0。我们有：
uA(w??A(t))?E[uA(?t)]?E[uA(w?t?)] (5.7.1) uB(w??B(t))?E[uB(?t)]?E[uB(w?t?)] (5.7.2) 在(5.7.1)式两边对t求导数可得：
?? ?u?A(w??A(t))?A(t)?E[uA(w?t?)?] (5.7.3)
22??????? u?A(w??A(t))[?A(t)]?uA(w??A(t))?A(t)?E[uA(w?t?)?] (5.7.4)
???把t?0和?A(0)?0代入(5.7.3)式，可得?u?A(w)?A(0)?E[uA(w)?]?uA(w)E[?]?0，
?所以??A(0)?0。再把t?0、?A(0)?0和?A(0)?0代入(5.7.4)式，可得
???A(0)???u?u??(w)2A(w)E[?2]??A??rA(w)?2
u?u?A(w)A(w)?u?u??(w)2B(w)E[?2]??B??rB(w)?2。
u?u?B(w)B(w)??同理可得：?B(0)?0,??B(0)?0，?B(0)??现在，应用泰劳(Taylor)公式把?A(t)和?B(t)在t?0附近展开，则有：
1122??A(t)???(0)t?o(t)?rA(w)(?t)2?o(t2)A22
1122??B(t)???rB(w)(?t)2?o(t2)B(0)t?o(t)?22?(t)?(t)22这告诉我们，rA(w)?2limA2,rB(w)?2limB2。从条件(3)可知，对任何
?t?0t?t?0tt?[0,1]，?A(t)?RPA(?t)?RPB(?t)??B(t)。因此，rA(w)?rB(w)。(1)得证。
二、相对风险规避
在研究中我们还会常常碰到这样的问题：风险收入是现有财富的某一倍数，比如投资回报一般是相对于投资水平而言的，是投资水平的某一倍数。这种问题叫做相对风险问题。
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