第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，
?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x
?x?0
?limf(x)?f(x0)x?x0
x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0
2．左导数：
f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
右导数：
定理：
f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
f??(x0)?lim?f?(x)x?x0
（或：
f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）
3.函数可导的必要条件：
定理：
f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
y?x?x0?f?(x0)存在
?f??(x0)?f??(x0)，
且存在。
5.导函数：
y??f?(x), x?(a,b)
f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0) f(x) ?y
6.导数的几何性质：
f?(x0)
是曲线
y?f(x)上点 ?x0
M?x0,y0?处切线的斜率。 o x
㈡求导法则
1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1 2o
x （u?v)??u??v?
o
（u?v)??u??v?u?v?
u??v?u?v??u????2 3 v?v?o
?
(v?0)
3.复合函数的导数：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
dy
dx?dydu?dudx，
或
{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)
☆注意
{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：
{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；
f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。
f??(x),f???(x),(n?1)4.高阶导数：
或f(3)(x)
f(n)(x)?[f(x)]?,(n?2,3,4?)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
f(x)在x的某个邻域内有定义，
?y?A(x)??x?o(?x)
其中：
A(x)与?x无关，
o(?x)是比?x?0较高
阶的无穷小量，即：?x?0limo(?x)?x
则称
y?f(x)在x处可微，记作：
dy?A(x)?x
dy?A(x)dx
(?x?0)
2.导数与微分的等价关系：
定理：
f(x)
在
x处可微?f(x)在x处可导，
且：
3.微分形式不变性：
f?(x)?A(x)
dy?f?(u)dudy都具有相同的形式。
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分一、
例题分析
例1.设
limf?(x)存在，且?x?0f(x0?2?x)?f(x0)?x?1，
则
f?(x0)等于
1 A.1, B.0, C.2, D. 2. [ ]
解：?x?0
limf(x0?2?x)?f(x0)?x
?2lim
f(x0?2?x)?f(x0)2?x2?x?0?2f?(x0)?1 ∴
f?(x0)?12 （应选D）
例2．设
f(x)?(x?a)?(x),22其中
?(x)在x?a处连
续；求
f?(a)。
f(x)?f(a)x?a2
解：
f?(a)?lim2x?a
(x?a)?(x)?(a?a)?(a)?lim x?ax?a(x?a)(x?a)?(x)?lim(x?a)?(x)x?a22?lim
x?ax?a?2a?(a)
2
误解：
f?(x)?2x?(x)?(x?a)??(x)
∴
222?f(a)?2a?(a)?(a?a)??(a)?2a?(a)
结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说
不一定存在。 例3．设
??(x)?(x)可导，所以
f(x)在x?1处可导，且f?(1)?2，求：
x?1limf(4?3x)?f(1)x?1x?13
解：设
t?4?3x,(4?t)
当
x?1时，t?1