若lim或limx???x???
⑵铅直渐近线：
f(x)?A?y?A是f(x)???f(x)?A?的水平渐近线。?
若lim?f(x)???x?C是f(x)?x?C??或lim?f(x)???的铅直渐近线。x?C?二、例题分析
例1． 函数
f(x)?x?x32在[-1，0]上是否满足罗尔定理的条件？若满
足，求出?的值。
解：∵
f(x)?x?xf(x)?x?x23232是初等函数，在[-1，0]上有定义；
∴在[-1，0]上连续。
∵
f?(x)?3x?2xf(x)?x?x332在（-1，0）内有定义；
∴在（-1，0）内可导。
f(?1)?(x?x) 又
2x??1?0
f(0)?(x?x) ∴
32x?0?0f(x)满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f?(?)?3??2??02
?21???2?0 解得：
3,
∵?2?0不在（-1，0）内，舍去；
???2 ∴
3
0?x??例2。证明：当
2时，不等式
x?tanx成立。
证法一：（采用中值定理证明）
F(t)?tant,t?[0,x],x?(0,?设：
2)∵
F(t)?tant是初等函数 ，在[0,x]上有定义，
∴F(t)?tant在[0,x]上连续。
F?(t)?sec2t?1∵
cos2t在（0,x）内有定义
∴
F(t)?tant在（0,x）内可导。
∴F(t)?tant满足拉格朗日定理的条件，
由
定
理
可
得
F?(?)?1(x)?F(0)c2??Fxo?0?txxs
：
a
x?cos?tanx, ∵
2??(0,x),2x?(0,?)2
0?cos??1,2tanx?0
∴
x?cos?tanx?tanxx?tanx,0?x??2； 证毕。
∴
证法二：（采用函数的单调性证明）
f(x)?tanx?x,设：
x?(0,?2)
f?(x)?secx?1?tanx?0,
22x?(0,?2)f(x)?,∴
x?(0,?2)
∴
f(x)?f(0)?tan0?0?0
tanx?x?0
x?(0,即：
x?tanx∴
?2)；证毕。
例3．证明：
1?xl证
x?1?x)?n：
21?x,设
2(x?(0)
：
f(x)?1?xlx?1?x)?1?x,n(x?0)
1?x)?222f?(x)?ln(x?
x(x?(x?1?x)?1?x)22?2x21?x2x(1??ln(x?
x1?x22)?1?x)?(x?2x1?x21?x)?ln(x?
1?x)?2x(1?x?x)1?x(x?221?x)2?x1?x2
?ln(x?1?x)?0,2x?0
∴∴
f(x)?,x?0
f(x)?f(0)?[1?xln(x?
1?x)?1?x]x?0?0222∴
1?xln(x?1?x)?1?x2,(x?0)；
证
毕。
arctanx例4．证明：当
x?0ln(1?x)?时，
1?x。
解：设：
f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，x?0
f?(x)?ln1(?x)?1?x2
1?x?11?x
?ln(1?x)?x21?x2?0,(x?0)
∴f(x)?,x?0
∴
f(x)?f(0)?[(1?x)ln(1?x)?arctanx]x?0?0,
ln(1?x)?arctanx ∴
1?x,x?0； 证毕。
例5．求下列极限：
limex?e?x ⑴
x?0tanx
x?0