Fy??xlnx?xyyx?1?xlnx?yyyxyy??(xxy22?lnx)xydy
dx??Fx?Fy??(?lny)x(?lnx)x，求
yxxy?xylny?yxylnx?x
例8．已知
f(x)?sinxx,x?t2
f?(x)。
解：设
t?2
f(t)?sint ∴
f(x)?sinx2
∴
222??f(x)?cosx(x)?2xcosx
例9．求下列函数的二阶导数
⑴
y?ln(1?x)2
y??解：
2x1?x2
y???
2(1?x)?2x?2x(1?x)222?2?2x222
(1?x)xy?lny?0 ⑵
y?xy??解法一：
1yy??0
y?xyy??y??02
y?? ∴
?y21?xy
y????2yy?(1?xy)?y(y?xy?)(1?xy)?y222
2?
?2y(1?xy)1?xy?y(y?x1?xy)(1?xy)322
2?y?
2y(1?xy)?y[y(1?xy)?xy](1?xy)3y?2xy(1?xy)3
23
34?
y?xy??解法二：
1yy??0
y?xyy??y??02
y?? ∴
?y21?xy
(y?xyy??y?)??0
2???2yy?yy?x(y)?xyy???y???0
2
y????3yy??x(y?)1?xy32??43y?y1?xy2?x???y1?xy221?xy?3y?2xy(1?xy)y(n)
?
3y(1?xy)?xy(1?xy)92x，求：
34
33例10．设
y?x?e8y(10),,n?10。
解：
y??9x?2e2x
722x??y?9?8x?2e
y????9?8?7x?2e……
632x
y
(9)?9?8?7???1x102x
9?9?2e92x?9!?2e92x
y(10)?2ey
(n)?2en2x,n?10
结论：对于
y?xm，若
n?m，则
y(n)?0
例11．设
y?x49?lnx，求
y(50)。
解：
(48)?1?y?49x?x
y???49?48x(47)?(?1)(46)2?1x?2
y????49?48?47xy(50)?(?1)3?11?2x?3
……
?(?1)50?1(50?1)!x?50??49!x?50
例12．求下列函数的微分
⑴
y?esinx2x
解法一：
x?y?esin2x?e?2sinxcosx
x
?e(sinx?sin2x) dy?e(sinxx2x2 ∴
x?sin2x)dx2
解法二：
dy?d(esinxx)
?d(e)?sinx?ed(sinx)
2x2
?esinxdx?e?2sinxd(sinx)
x2x
?e(sinxdx?2sinxcosxdx)
?e(sinx2x2 x?sin2x)dx
x2y?ey ⑵
?1
(x2解法一：
y)??(ey)??0
2y
2xy?xy??ey??0y???2xy
x2?ey
dy??2xyx?edx ∴
2y
2y解法一：
d(xy)?d(e)?0
2y
2xydx?xdy?edydy??2xydx ∴x2?ey
?0