x?1
limf(4?3x)?f(1)x?1?limf(t)?f(1)13t?1(4?t)?1
??3limf(t)?f(1)??3f?(1)??3?2??6t?1t?1
例4．设
f(x)是可导的奇函数，且f?(?x0)?k?0， 则
f?(x0)等于：
1 A.
k, B.
?k, C.
?1k, D.
k. [ ]
解：f(?x)??f(x)
[f(?x)]??[?f(x)]?
f?(?x)?(?x)???f?(x)
f?(?x)?f?(x)
∴
f?(x0)?f?(?x0)?k (应选A)
（结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。）
f(x)???x2?1x?1例5．设
?2xx?1在x?1处是否可导？ 解法一：
f(1)?2xx?1x?1?2
lim?f(x)?lim?(x?1)?2x?12
x?1lim?f(x)?lim?(2x)?2x?1
∴
f(x)在x?1处连续
f??(1)?lim?x?12f(x)?f(1)x?1?lim?x?1x?1?2x?12
?lim?x?1x?1x?1x?1?lim?(x?1)?2x?1
f??(1)?lim?
f(x)?f(1)x?1?lim?x?12x?2x?1?lim?2?2x?1∴
f?(1)?f??(1)?f??(1)?2 f(x)在x?1处可导。
∴
f(1)?2x解法二：
x?1?2
x?1lim?f(x)?lim?(x?1)?2x?1
2x?1lim?f(x)?lim?(2x)?2x?1
∴
f(x)在x?1处连续
当
x?1时，
?2xx?1f?(x)???2x?1
x?1x?1
∴
f??(1)?lim?f?(x)?lim?2x?2
f??(1)?lim?f?(x)?lim?2?2x?1x?1
∴
f?(1)?f??(1)?f??(1)?2
f(x)在x?1处可导。 ?1?bxf(x)??2x?aex?0x?0
∴
例6．设
求a,b的值，使解： 当
f(x)处处可导。
f(x)的定义域：x?(??,??)
x?0时，
是初等函数，在
f(x)?1?bxx?0(??,0)内有定义，
∴不论a和b为何值， 当
时，
f(x)在(??,0)内连续；
f(x)?ae2x是初等函数，在
(0,??)内有定义，
∴不论a和b为何值，
f(x)在(0,??)内连续；
x?0
f(0)?(1?bx)?1
x?0limf(x)?lim(1?bx)?1??x?0
x?0lim?f(x)?lim?aex?02x?a
只有当
a?1时，f(x)在x?0处连续；
∴当
a?1时，f(x)处处连续；
a?0时，
当
?bx?0可导?bx?0f?(x)????2x2x?2e2aex?0x?0可导a?1??
f??(0)?lim?f?(x)?lim?b?bx?0x?02x??f?(0)?lim?f(x)?lim?2e?2x?0x?0
只有当
b?2时，f(x)在x?0b?2，
处可导；
∴当
a?1,f(x)处处可导。
例7．求下列函数的导数
⑴
y?cosln(1?2x)
y?cosuu?lnvv?1?2x
解：
dydx?dydu?dudv?dvdx
??sinu?
1v?2??21?2xsinln(1?2x)⑵
y?arctan(tan2x)2
解：
y??[arctan(tanx)]?
?
11?(tan2x)22(tan2x)??2tanx1?(tan2x)2(tanx)??
2tanxsecx1?(tanxtan2x
2x)2?sin2xsin4x?cosx4
⑶
y?10解：
y??(10xtan2x)??ln10?10xtan2x(xtan2x)?2
?ln10?10
xtan2x(tan2x?2xsec2x)⑷
x?y?r222 （
r2
为常数）
解法一：
y??r?x2