lnx1 解：
x?0lim?xx(0)x?0?lim?e01x1x2xlnx(0??)x?0?lim?ex
?
?lim?ex?0?lim?ex?01?x?1
?x(1?x)lim??x?0?e??例6．
1?x????
11?x(1?x)?y??e??解：设：
?x????
11?x(1?x)?lny?ln?e???x11??[ln(1?x)x?lne]?x??
11ln(1?x)?x?[ln(1?x)?1]?2xxx
x?0lim?lny?lim?x?0ln(1?x)?xx?1?lim?x?02
11?x?lim??0?x?02x01?1?x2x(1?x)
?lim?x?0
?12(1?x)??12
11?x(1?x)?lim?y?lim?x?0x?0?e??∴
?x1??e?2???
例7．解
x???limxen?x,(??0,n为正整数）
：
x???
limxen?x???x????e?lim?nxn?1?x???x???n?n?lim?n?n?1?xn?2?e2?x
???
???lim??n(n?1)?1x???x????en?x?limn!x????en?x?0lim例8．设：
x?ax?bsin(x?1)22x?12?3，求a、b的值。
limsin(x?1)?0解：∵
x?1
limx?ax?bsin(x?1)222x?1?3
lim(x?ax?b)?0 ∴
x?1
1?a?b?0 ……（※）
∵
sin(x?1)~(x?1),limx?ax?bsin(x?1)22222(x?1)2
x?1?limx?ax?bx?1
x?1∴
?0??lim02x?a2xx?1?2?a2?3
∴
a?4 代入（※）式，得:
b??5
∴当
a?4,b??5时，原式成立。
例9．求曲线
y?2x2在点（1，2）处的切线方程
和法线方程。
解：
4?2?y???2???3x?x??
y?x?1?4????3??x?x?1?4
∴切线方程：
y?2??4(x?1)
即：
y?6?4x
1?414 法线方程：
y?2??(x?1)74
即：
y?x?例10．曲线
y1?2x?x?23的切线在何处与直线
y2?5x?4平行？
2解：
??6x?1 y1y??5 2
∵
y1的切线与y2平行
∴
6x?1?5
x1??1,y1x??12 ∴
x2?1
3x??1
?(2x?x?2)3??3
y1x?1?(2x?x?2)(?1,?3),2上任意点
x?1??1
∴所要求的点为：
(1,?1)
例11．求曲线
xy?a2x0(?0)处的切线与坐标轴组成的三角形
的面积。
解：⑴求切线方程：
y?
ax,y0?22a2x0
y???
ax,y?x?x0220220??ax22 0 切线方程为：
y?y0??a2axax(x?x0)a2
y?
x0??x?x0