§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
f(x)满足条件:
1在[a,b]上连续；?在(a,b)内至少?02.在(a,b)内可导;??存在一点?,0?(?)?0.3.f(a)?f(b).?使得f?
y
0.f?(?) f?(?) f(x) f(x)
a o ξ b x a o ξ b x
2.拉格朗日定理：
f(x)满足条件:
在(a,b)内至少存在一点?，使得：f(b)?f(a)
f?(?)?b?a?1在[a,b]上连续，??02在(a,b)内可导；?0㈡罗必塔法则：（
00,?? 型未定式）
定理：
f(x)和g(x)满足条件：
limf(x)?0(或?）x?a1o
limg(x)?0(或?）；
x?a2o
在点a的某个邻域内可导，且
g?(x)?0；
f?(x)3o
x?lima(?)g?(x)?A,（或?）
? 则：x?limf(x)f?(x)a(?)g(x)?x?lima(?)g?(x)A,（或?）
☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
0? 即不是
0型或
?型时，不可求导。
3o
应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。
4o若
f?(x)和g?(x)还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
f(x)?f?(x)f??(x)g(x)?x?lima(?)x?lima(?)g?(x)?x?lima(?)g??(x)A
5o若函数是
0??,???型可采用代数变
?（或0 形，化成
?或
0?型；若是
1,0,??或
?00型可
0 采用对数或指数变形，化成
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
0?型。
设：
y?f(x),M(x0,y0)
切线方程：法
y?y0?f?(x0)(x?x0)
线
方
程
：
y?y0??2． 曲线的单调性： ⑴
1f?(x0)(x?x0),(f?(x0)?0)
f?(x)?0x?(a,b)
?f(x)在(a,b)内单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调减少；
⑵
f?(x)?0x?(a,b)
?在(a,b)内严格单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)
?在(a,b)内严格单调减少。 3.函数的极值： ⑴极值的定义：
设
f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；
x0的某个邻域内的任意点
若对于
x?x0，都有：
f(x0)?f(x)[或f(x0)?f(x)]则称
f(x0)为
是
f(x)的一个极大值（或极小值）
，
称
x0f(x)的极大值点（或极小值点）
。
理
：
⑵极值存在的必要条件：
定
1.f(x)存2.f?(x0)存称为
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
00f(x0)???f(x0)?0?
在x00f(x)的驻点
?f(x0)是极值；?02.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；??x是极值点。00?3.f?(x)过x0时变号。?1.f(x)在x0处连续；
x0f(x)由（+）变（-）x当渐增通过时，；
则
f(x0)为极大值；
x 当
渐增通过
x0时，
f(x0)f(x)由（-）变（+）
；则为极小值。
f(x0)是极值；1.f?(x0)?0；???0x0是极值点。2.f??(x0)存在。?定理二：
若
0f??(x0)?0f??(x0)?0，则
f(x0)f(x0)为极大值；
若，则为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上
凹的（或凹的），（∪）；
⑵若⑶
f??(x)?0,x??a,b?的（或凸的），（∩）；
；则
f(x)在(a,b)内是下凹
??x0,f(x0)?称??0为f(x)的拐点。2.f??(x)过x0时变号。?1.f??(x0)?0，0
5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线：