2011年全国各地中考中的倒数第二题解答题
安徽省22．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?(0°＜?＜
180°)，得到△A1B1C．
A A1 A A1 A E B
C
A1
? C D B
C ? ? P B
B1 B1
B1 图1 图2 图3
(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ． 22.（1）易求得?A?CD?60, A?C?DC, 因此得证.
?(2)易证得?ACA?∽?BCB?,且相似比为1:3，得证. （3）120°，
3a 2安徽省芜湖市
23. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 23.（本小题满分12分） (1)证明：连接OC,
因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． (2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF+OF=OA. 即(5?x)?(6?x)?25，化简得：x?11x?18?0 解得x?2或x?9。
由AD ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6. 222222北京市 24. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CE?CF； （2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。 24. (本小题满分7分) DA (1) 证明：如图1. ∵ AF平分?BAD，∴?BAF=?DAF， BEGCF 1 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。 ∴ ?DAF=?CEF，?BAF=?F， ∴ ?CEF=?F，∴ CE=CF。 (2) ?BDG=45?. (3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2). ∵ AB//DC，?ABC=120?， ∴ ?ECF=?ABC=120?， ∵ FG //CE且FG=CE, ∴ 四边形CEGF是平行四边形. 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形, 1 ∴ EG=EC，?GCF=?GCE=?ECF=60?. 2 ∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG…?, ?GEC=?EGC=60?, ∴?GEC=?GCF, ∴?BEG=?DCG…?, 由AD//BC及AF平分?BAD可得?BAE=?AEB， ∴AB=BE. 在□ ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC…?, 由???得△BEG ? △DCG. ∴ BG=DG，?1=?2, ∴ ?BGD=?1??3=?2??3=?EGC=60?. 1 ∴ ?BDG=(180???BGD)=60?. 2ADEBGCF重庆市25、（2011?重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月， 该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y（与月份x（10≤x≤12，2元）且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势： （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式； （2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润； （3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值． 22222 （参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025） 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用。 2 专题：应用题；分类讨论。 分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，； （2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价﹣各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可； （3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可． 解答：解：（1）设y1=kx+b， 则 ，解得 ， ∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）； 设y2=ax+b，则 ，解得 ， ∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）； （2）设去年第x月的利润为W元． 22 1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x+16x+418=﹣2（x﹣4）+450， ∴x=4时，W最大=450元； 2 10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）， ∴x=10时，W最大=361元； （3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件）， 今年原材料价格为：750+60=810（元） 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元． ∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700， 2 设t=a%，整理得10t﹣99t+10=0， 解得t= ， ≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980， ∵9401更接近于9409，∴ ∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，∴a≈10． 答：a的整数解为10． 点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的求值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点． 重庆市江津区25、（2011?江津区）已知双曲线： 与抛物线：y=ax+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）、 2 C（﹣3，n）三点． （1）求双曲线与抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积． 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）函数图象过某一点时，这点就满足关系式，利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可； （2）根据A，B，C三点的坐标可以得出△ADB，△BCE和梯形ADEC的面积，用梯形面积减去两三角形面积即可得到△ABC的面积． 解答：解：（1）把点A（2，3）代入 得：k=6，∴y=， 把B（m，2）、（﹣3，n）分别代入y=得，m=3，n=﹣2， 把A（2，3）、B（3，2）、C（﹣3，﹣2）分别代入y=ax+bx+c得： ，解得： ， 2 3 ∴抛物线的解析式为：y=﹣x+x+3； （2）描点画图得： S△ABC=S梯形ADEC﹣S△ADB﹣S△BCE，=（1+6）×5﹣×1×1﹣×6×4， = ﹣﹣12=5． 2 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 重庆市潼南25. (10分)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植 户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种植A类蔬菜面积 种植B类蔬菜面积 总收入 种植户 （单位：亩） （单位：亩） （单位：元） 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． ⑴ 求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？ ⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案. 五、25. 解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元． 由题意得：??3x?y?12500 ----------------3分 ?2x?3y?16500?x?3000解得：? y?3500?答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．----5分 （2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩． 由题意得：??3000a?3500(20?a)?63000 ----------7分 ?a＞20?a解得：10＜a≤14. ∵a取整数为：11、12、13、14. ----------------------------8分 ∴租地方案为： 类别 种植面积 单位：（亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 福建省福州市21.（满分14分）已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4， AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每 秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． （1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB； N A D （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． Q 21．（满分14分） 解：（1）3 (2)t=1.2s 3(3t?t2)------------------------------8分 （3）当0?t?2时,s= 631(2t?t2)-----------------------11分 当2?t?4时,s= 62(4)t=1.5s或者t=12/7s-----------------14分 B M P C 4 4福建省龙岩24．(13分)如图，已知抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x?2， 9且与x轴交于点D，AO=1． (1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长； (3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 1620，B(5，0) ，c?99416204（2）由（1）求得y??x2?x???(x?2)2?4 ∴C（2，4） 999924、（1）b?∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2） 430x?，整理得4x?3y?20?0 33设直线EF的表达式为y?kx?b 3∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴k? 4535把E（3.5，2）代入求得 b?? ∴直线EF的表达式为y?x?， 8483555525在y?x?中，令y=0，得x? ∴F(，0) ∴FC=FB=5?? 486666易求直线BC的表达式为y??（3）存在，作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于 点P’，也满足条件，坐标求法一样。 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离。（用到点到直线的距离公式） ∴a?4?2?3a?204?322?3a?125 ∴5a?3a?12 ∴5a?3a?12或5a??3a?12解得a??6或a?33∴P（2，?6）或P（2，）。 22福建省南平25．（11·南平）（12分） （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形 ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究： 如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． D A D A F F G G ADFB E C B E C BGEC【答案】（1）连接FC， 由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B＝90° ∴∠EFG＝∠C＝90° ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE F 3 2 E 1 D G 4 C 5 A B