∴CE＝EF ∴∠1＝∠2 ∵∠EFG＝∠C ∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG （2）连接CF，
由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE ∴CE＝EF ∴∠1＝∠2
又∵∠AFE＋∠EFG＝180° ∠B＋∠ECG＝180° ∴∠EFG＝∠ECG ∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG
A
F 2 3 B
1
E
4 C
G
D
福建省莆田24．(本小题满分12分)
已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，?3)． （1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。
2
??a?b?c?0?a??1??24. 解：（1）由题意，得?c??3，解得?b?4
?c??3?b????2?2a2∴抛物线的解析式为y??x?4x?3。
，x2?3 ∴B（3, 0） （2）①令?x?4x?3?0，解得x1?1当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为y?x?3， ∴设直线AP的解析式为y?x?n， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得n??1。 ∴直线AP的解析式为y?x?1
2yPAOEP3CBx?y?x?1?x1?1?x2?2，解方程组?，得? ?2y?0y?1y??x?4x?3?1?2?1) ∴点P1(2，
P2第24题 图16
当点P在x轴下方时，如图1 设直线AP?1)， 1交y轴于点E(0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3， 得直线P2P3的解析式为y?x?5，
?3?17?3?17x?x??1?2?y?x?5??22，解方程组?，得 ??2?y??x?4x?3?y??7?17?y??7?1712???2?2
3?17?7?173?17?7?17，)，P3(，) 22223?17?7?173?17?7?17(2，1)综上所述，点P的坐标为：P，P(，)，P(，) 1232222②∵B(3，，0)C(0，?3)
∴P2(∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为y?kx?3 如图2，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA=α，则∠ACB=45°?α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°?α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°?α）=α ∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ
yAOBQxPCOAOC13，∴?，∴OQ=9，∴Q(9，?0)
OCOQ3OQ∵直线CP过点Q(9，0)，∴9k?3?0
1∴k?
31∴直线CP的解析式为y?x?3。
3∴
其它方法略。
第24题 图2福建省三明22．如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上
的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．
（1）求a，c的值；（4分）
（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（4分）
（3）以PQ为直径的圆 与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）（4分）
ylOAPQBx（第22题）22.解：∵抛物线y＝ax－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0）
??a＝1?c＝－1
∴? 解得：?5 25a－20a＋c＝0???c＝－1
2
7
1
（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0）∴直线AB的解析式为y＝x －1
5
14
由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1
55
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴
141114
∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）
5555551
即S＝－m 2＋m （0＜m＜5）
5
（3）抛物线的对称轴l为：x＝2
以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有： 相离、相切、相交三种关系
15－145－5＋105相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；
22
15－145－5＋105
相切时：m＝ m＝；
22
15－145－5＋105
相交时：＜m＜
22
福建省漳州市
25．（11·漳州）（满分13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD． y B （1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，
点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；
C M （2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，
D O A x 请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ??????4分
（2）方法一：由（1）可知CD＝OC2＋OD2 ＝5，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC ??????6分 BMBCBM1∴＝ 即＝ DODC25
2
∴BM＝5 ??????8分
5
方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b
由（1）得
??b＝1?b＝1
? 解得?1 ?－2k＋b＝0?k＝2?
1
∴直线CD的解析式为y＝ x＋1
2
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC ??????6分 BMBCBM1∴＝ 即＝ DODC25
2
∴BM＝5 ??????8分
5
2
y＝－2x＋2x＝??5∵?1 ∴
6 y＝x＋1?2?y＝5
26
∴M的坐标为(，) ??????6分
55
24
过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝ 55
?
??
8
2
5 ??????8分 5
（3）存在 ??????9分
分两种情况讨论： ① 以BM为腰时
2
∵BM＝5，又点P在y轴上，且BP＝BM
5
22
此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2＋5)、P2 (0，2－5) ?????11分
55
过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°， 则△BME∽△BCM BEBM
y y ∴＝
BMBC
BM24P· 1 ∴BE＝＝ B BC5
又∵BM＝BP E M B C 41 P3· ∴PE＝BE＝
5P2 · M C D O A x 8
∴BP＝ 5 5
D O A x 82
∴OP＝2－＝
55
2
此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) ?????12分
5
② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F， 由（2）得∠BMC＝90°， ∴PF∥CM y ∵F是BM的中点，
B 11
P ∴BP＝BC＝ 4· F 22
M 3C ∴OP＝
2
3D O A x 此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) 2
2223综上，符合条件的点P有四个：P1 (0，2＋5)、P2 (0，2－5)、P3 (0，)、P4 (0，)????13分
5552
∴BM＝ME2＋BE2 ＝
甘肃兰州
27、（2011?兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A
与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；
2
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；
2
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC?AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。 专题：几何综合题。 分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；
222
（2）由勾股定理得AB+FB=100，△ABF的面积为24cm可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答； （3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明； 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO， ∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，
9
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm， 设AB=a，BF=b，
2222
∵△ABF的面积为24cm，∴a+b=100，ab=48，∴（a+b）=196， ∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10=24cm； （3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP，∴∵四边形AECF是菱形， ∴AO=AC，
2
=，∴AE=AO?AP，
2
∴AE=AC?AP，
2
∴2AE=AC?AP．
点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
甘肃省天水
25、（2011?天水）在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．
．
考点：切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理。 分析：（1）连接OB，根据BQ是圆的切线，则△OBQ是直角三角形，根据勾股定理即可求得半径OB的长； （2）根据AB=AC，O是△ABC的内心，可以得到：BC⊥AE，且AE是直径，BE=CE．在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD的长，再在直角△BED中，利用勾股定理求得BE的长；在直角△ABE中求得AB的长，据此即可求得四边形的周长． 解答：解：（1）连接OB． ∵BQ与⊙O相切， ∴∠OBQ=90° ∴OB=
=
=．故半径是：；
（2）∵AB=AC，O是△ABC的内心． ∴
=
，
=
∴AB=AC，BE=CE∴BC⊥AE
2
∵OE=OB=，∴OD=OE﹣DE=﹣=
2
2
2
∴在直角△ODB中，BD=OB﹣OD=（）﹣（）=
2
=
在直角△BDE中，BE=== ∴CE=BE=
∵AE是直径．∴∠ABE=90°
10