（3）若
S?CEF1?，且AC=4，求CF的长. S?OCD225．（本题满分10分）
证明：（1）∵AC是⊙O的直径 ∴AE⊥BC
∵OD∥BC ∴AE⊥OD
∴D是?AE的中点 ????3分 （2）方法一：
如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC ?4分 ∴∠AGD=∠B
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ????5分
又∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO ∴∠DAO=∠B +∠BAD ????6分 方法二：
如图，延长AD交BC于H ?4分 则∠ADO=∠AHC
∵∠AHC=∠B +∠BAD ????5分 ∴∠ADO =∠B +∠BAD 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠B +∠BAD ????6分 （3） ∵AO=OC ∴S?OCD?∵
S?CEF1S? ∴?CEFS?OCD2S?ACD1S?ACD 21? ????7分 4∵∠ACD=∠FCE ∠ADC=∠FEC=90°∴△ACD∽△FCE ∴
S?CEFCF21CF2?() 即: ?() ∴CF=2 S?ACDAC44广西河池25. (10分) 如图l，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB
外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于E．
(1) 求点D的坐标；
(2) 求证：四边形ABCE是平行四边形；
(3) 如图2，将图l中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
yCyCFEDG30°O第25题图1AxO第25题图2AxBEDB
21
广西来宾市
24．（11·来宾）（本题满分10分）
已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点． （1）如果动点E、F满足BE＝CF（如图）：
① 写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）； ② 证明：AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），问AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．
A D A D A D
O O O E F E F B C
B C
B C
(第24(1)题图) (第24(2)题图) (第24(2)题备用【答案】解：（1）① △ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA
② 证明：如图，延长AE交BF于点G，
∵ABCD是正方形
∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE ∵BE＝CF
∴△ABE≌△BCF, ∴∠CBF＝∠BAE
∵∠ABE＋∠EBG＋∠CBF＝90° ∴∠ABE＋∠EBG＋∠BAE ＝90°
∴∠AGB＝90°
AD∴AE⊥BF
（2）点E是OB的中点
证明：∵ABCD是正方形 o∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE
∵AE⊥BF
EF∴∠AGB＝90° ∴∠ABE＋∠EBH＋∠BAE ＝90° BGC∴∠ABE＋∠EBH＋∠CBF＝90° （第24（2）题图）∴∠CBF＝∠BAE ∴△ABE≌△BCF, ∴BE＝CF
22
∴BE＝OF ∴CF＝OF ∵BE＝OE
∴E是OE的中点
广西柳州市 如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为
D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长． 【答案】解：(1)连接OC
∵AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠CAB ∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠CAB ∴∠OCA＝∠DAC ∴AD∥CO ∵CD⊥AD ∴CD⊥AD
∴CD为⊙O的切线
（2）∵AB＝2BO AB＝2BE
∴BO＝BE＝CO 设BO＝BE＝CO＝x ∴OE＝2x
在Rt△OCE中， OC2＋CE2＝OE2
x2＋(3)2＝(2x)2 ∴x＝1
3
∴AE＝3 ∠E＝30° AD＝
2
(1)求证：直线AB是⊙O的切线．
(2)当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
C A O D C A ·O B E
(第25题图) D C A ·O B E
(第25题图) 广西南宁25．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
D B
E
(1) 证明：如图，连接OE，∵弦DE∥OA，∴∠COA=∠ODE, ∠EOA=∠OED, ∵OD=OE, ∴∠ODE=∠OED, ∴∠COA=∠EOA,又∵OC=OE,OA=OA，∴⊿OAC≌⊿OAE, ∴∠OEA=∠OCA=90°, ∴OE⊥AB，∴直线AB是OO的切线；
(2) 由(1)知⊿OAC≌⊿OAE, ∴AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角⊿ABC中，
BC?AB2?AC2?32?12?22，∵∠B=∠B, ∠BCA=∠BOE，∴⊿BOE∽⊿BAC,
∴
OEBE22OCOE2?????，∴在直角⊿AOC中， tan∠OAC= . ACBC222ACAC2广西省贺州钦州 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
D 【答案】解：(1)连接OC
C ∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD 又∵AD⊥CD ·A B O ∴OC∥AD
(第25题图) 23
∴∠OCA＝∠DAC ∵OC＝OA
∴∠OCA＝∠OAC ∴∠OAC＝∠DAC
∴AC平分∠DAB ??????3分
（2）解：点O作线段AC的垂线OE如图所示 （3）解：在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，
∴AD＝AC2－CD2＝(45)2－42＝8 ??????6分 ∵OE⊥AC
1
∴AE＝AC＝25 ??????7分
2
∵∠OAE＝∠CAD ∠AEO＝∠ADC ∴△AEO∽△ADC OEAE
∴＝ ??????8分 CDAD
AE25
∴OE＝×CD＝×4＝5
AD8
即垂线段OE的长为5 ??????9分
广西梧州25（2011广西梧州，25，10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB
交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G． （1） 求证：AD是⊙O的切线；
（2） 如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长． 【答案】解：（1）证明：连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°． ∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC． ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线． （3） 连接BG；
A ∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=OC2+EC2=10． O ∴AE=OE+OA=1．
∵AF⊥ED， B G ∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E． ∴Rt△AEF∽Rt△OEC． E C F AFAE∴=． OCOEAF16即：=．
610∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
A ∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
O ∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG ∽Rt△AEF． B G AGAB
∴=． AFAE
E C F AG12
即：=．
9.616∴AG=7.2．
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm) ．
D D 24
广西玉林防城港
25、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作
一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB的长．
25. （1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB， 又∵AG=AE，AB=AD， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD；
（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，
由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中， ∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°， ∴EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O， ∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ， ∴EB=GD= ．
贵州省安顺26．（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相
交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB的中点；
⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
1⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．
3第26题图 第26题图
【答案】（1）证明：连接CD,则CD?AB， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴Rt?ACD≌Rt?BCD ∴AD = BD ， 即点D是AB的中点． （2）DE是⊙O的切线 ．
理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE?AC； ∴DE?DO 即DE是⊙O的切线；
1BD1（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =?， BC = 18，
3BC3AE1∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A =? ， ∴AE = 2，
AD3在Rt?AED中，DE=AD2?AE2?42．
贵州省毕节26、（2011?毕节地区）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根
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