V（km/h）30ABO1020C35t（h）
广东省湛江27、（2011?湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD．（2）连接DE，证得∠ADE=90°，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得． 解答：解：（1）证明：连接OD， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO， 又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°， ∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，
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∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线； （2）连接DE，
∵AE是直径，∴∠ADE=90°， 又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C， ∴DE∥BC，
又∵D是AC中点，∴AD=CD，∴AD：CD=AE：BE，∴AE=BE，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AE=AC：AB，∴AC：AB=4：5， 设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5， ∵BC=6，∴AB=10，∴AE=AB=10．
点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．
广东省肇庆24、（2011?肇庆）己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，
交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=
，求tan∠ABF的值．
考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。 分析：（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可； （2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；
（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案． 解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA； （2）∵AB为直径，∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA， ∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF， 即：P是AF的中点；
（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，∴△FDA∽△ADB，∴∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=
=，即：tan∠ABF=．
=
，
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD=PA以及PD=PF，得出答案是解决问题的关键．
广东省珠海21．（11·珠海）（本题满分9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是
⌒BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线
AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE， 求证：S△DAF＞S△BAE．
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A F
O B C B O A F
C h E E D D
【答案】证明：（1）连结OD． ????????1分 ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．
⌒＝CD⌒． ∴∠BAD＝∠EAD． 又∵DE∥BC，∴OD⊥BC．∴BD
∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，∠BDA＝∠DEA．∴∠BAD＝∠EAD，∴△ABD∽△ADE．
ABAD
（2）由（1）得＝，即AD2＝AB·AE
ADAE
1
设在△ABE中，AE边上的高为h，则：∴S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．
2
由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形
1
∴S△DAF＝ AD2． ∴S△DAF＝S△BAE ∴△DAF＞△BAE．
2
广西百色市26.（本题满分10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切
点为C，交⊙O于E。
（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）； （2）证明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值。
ECOECOBAMBAMNP图1图2（1）以MB为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。 （2）证明：∵BC切圆与点C，所以有∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA； ∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径 ∴∠AEC=∠ACO=90°，
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，∴∠EAC=∠OAC= OCB （3）连结DM，则∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=10. ∵△BON∽△BDM ∴
310BN2BNBO? ∴ ∴BN=。 ?103BMBD210广西区北海25．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC
于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线； (2)当∠BAC＝60o时，DE与DF有何数量关系？请说明理由； (3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值． （1） 证明：连结OD，
∵AB=AC，∴∠2=∠C 又∵OD=OB，∴∠2=∠1 ∴∠1=∠C ∴OD∥AC ∵EF⊥AC ∴OD⊥EF
18
∴EF是⊙O的切线。
（2）DE与DF的数量关系为：DF=2DE。理由如下： 连结AD ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，
∵AB=AC。 ∴∠3=∠4=
1∠BAC=30° 2∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°， ∴∠3=∠F ∴AD=DF
∵∠4=30°，EF⊥AC，∴AD=2DE ∴DF=2DE.
（3）解：设⊙O与AC的交点为P，连结BP，则BP⊥AC，由上知BD=∴AD?1BC=3 211BC?AD?AC?BP 2224271124222∴?6?4??5?BP∴BP?∴AP?AB?BP?5?()?
5522524BP24∴tan∠BAC= ?5?AP775AB2?BD2?52?32?4S?ABC?广西崇左24、如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA
的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N． （1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？ 考点：切线的性质；二次函数综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：动点型。 分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．
（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD﹣OA=8﹣R，根据勾股定理求出OA的值． （3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长． 解答：解：
（1）∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°；（1分） ∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°； ∴∠OMD=∠MNC；（2分） 又∵∠D=∠C=90°；∴△ODM∽△MCN，（3分） （2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R； ∴OD=AD﹣OA=8﹣R，（4分）
222222
由勾股定理得：（8﹣R）+x=R，（5分）∴64﹣16R+R+x=R， ∴
（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x， 又
， ；（6分）
且有△ODM∽△MCN，∴同理
，∴代入得到
，∴代入得到
；（8分）
；（7分）
∴△CMN的周长为P=
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=（8﹣x）+（x+8）=16．（9分）
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分） 解法二：在Rt△ODM中，
，
设△ODM的周长P′=
而△MCN∽△ODM，且相似比
；（7分） ；（8分）
∵，∴△MCN的周长为P=．（9分）
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分） 点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．
广西贵港市25．（11·贵港）（本题满分11分）
如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大
圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
① 求y与x之间的函数关系式； ② 当BE与小圆相切时，求x的值．
E C
【答案】（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，
·∴∠OAB＝∠OCD＝90° O
∵BC⊥AB ∴∠CBA＝∠CBD＝90°??????1分
A B D ∵∠1＋∠OBC＝90° ∠2＋∠OCB＝90°
又∵OC＝OB
(第25题
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠1＝∠2??????2分
∴△AOB∽△BDC??????3分
（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形??????4分
∴BF＝OA＝1
由垂径定理，得BC＝2BF＝2??????5分 在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x
∴AB＝OB2－OA2＝x2－1??????6分 由（1）得△AOB∽△BDC
x2－1OBABy
∴＝ 即＝ CDACx2
2xx2－12xE C ∴y＝2（或y＝2）??????7分 x－12 x－1
·O ② 当BE与小圆相切时，OE⊥BE
1 ∵OE＝1，OC＝x A B D
2∴EC＝x－1 BE＝AB＝x－1??????8分
(第25题在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2
]
即(x－1)2＋(x2－1)2＝22??????9分
解得：x1＝2 x2＝－1（舍去）??????10分 ∴当BE与小圆相切时，x＝2??????11分
广西省桂林25．（本题满分10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，
为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．
1AC长2AE的中点； （1）求证：D是?（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；
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