据下列情景解决问题．
（1）这个学校九年级学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？ 考点：一元一次不等式组的应用。 分析：（1）根据若多购买60支，则可按批发价付款，可知人数+60＞300．
（2）设人数有x人，根据若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，以及多购买60支可按批发价付款120元，列方程求解．
解答：解：设人数有n人， n+60＞300， n＞240， n≤300，
∴240＜n≤300；
（2）设人数有x人，
5?
=6?
，
x=300．
这个学校九年级学生有300人．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据若多购买60只，可批发价汇款以及若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同这种不等量关系和等量关系列不等式以及方程求解．
贵州省贵阳24、（2011?贵阳）[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为
．
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 （2，1.5） ． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案． （2）根据题意画出图形，然后可找到点D的坐标． 解答：解：（1）M=（
，
）=（2，1.5）．
根据平行四边形的对角线互相平分可得：D'（1，﹣1），D''（﹣3，5），D''（5，3）．
点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，比较简单，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
贵州省黔南州 24、如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=
DB到点F，使FB=
1ED，延长21BD，连接AF． 2（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．
25、24. 证明：（1）在△BDE和△FDA中，
26
∵FB= BD，AE= ED，
∴ ，（3分） 又∵∠BDE=∠FDA， ∴△BDE∽△FDA．（5分）
（2）直线AF与⊙O相切．（6分） 证明：连接OA，OB，OC， ∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分） ∴△OAB≌OAC， ∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线， ∴AO⊥BC，
∵△BDE∽FDA，得∠EBD=∠AFD， ∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA， ∴直线AF与⊙O相切．
贵州省遵义26．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D
两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段．．
PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0 （2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由． 26．解: (1)(5分)设t秒后，四边形PCDQ为平行四边形 则 DQ=t,BP=2t, ∴PC=20-2t 当DQ=PC时,即t=20-2t, t=∴当t= 20(秒) 320秒时, 四边形PCDQ为平行四边形. 3 (2)(7分)∵DQ∥BH,∴△DEQ∽△BEP QEQD① ?EPBPQFQE 同理：由EF∥BH.得：② ?FHEPDQQF 由DQ∥CH. 得：③ ?CHFHQDQD 由①②③得： ?BPCH ∴ ∴BP=CH ∴PH=PC+CH=PC+BP=BC=20(cm) ∴PH的长不变，为20cm. 海南 23、（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ． （1）求证：△BDQ≌△ADP； （2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。 分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP； （2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值． 解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形， 27 ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°， ∵AP=BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS）； （2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP， ∴BQ=AP=2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE=60°， ∴QE=QB?sin60°=2× = ，BE=QB?cos60°=2×=1， ∵AB=AD=3， ∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1， ∴PE=PB+BE=2， ∴在Rt△PQE中，PQ=∴cos∠BPQ= = = ． = ， 点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用． 河北 25、（2011?河北）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点． 思考 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α． 当α= 90 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 2 ． 探究一 在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 30 度，此时点N到CD的距离是 2 ． 探究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．） 考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形。 分析：思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案； 探究一：根据由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值； （2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围． 解答：解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小， 28 ∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2． 故答案为：90，2； 探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2， ∵MN=8，MO=4，OY=4，∴UO=2， ∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二 （1）由已知得出M与P的距离为4， ∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°； （2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°， 如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小， 连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4， ∴sin∠MOH= =，∴∠MOH=49°， ∵α=2∠MOH，∴α最小为98°，∴α的取值范围为：98°≤α≤120°． 点评：此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识，根据切线的性质求解是初中阶段的重点题型，此题考查知识较多综合性较强，注意认真分析． 河南 22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 22.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t. 又∵AE=t，∴AE=DF.????????????????????????????2分 （2）能.理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF. 又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.???????????????????3分 3?5,?AC?2AB?10.?AD?AC?DC?10?2t. 310若使?AEFD为菱形，则需AE?AD.即t?10?2t,t?. 310即当t?时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分 3∵AB=BC·tan30°=53?（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形. 29 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，t?②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°. 即10?2t?5.??????7分 21t,t?4.????????????????????????????9分 25或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分 2③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当t?黑龙江省大庆 27.（本题9分）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、 BC、AC分别相切于点D、E、F，延长CO交斜边AB于点G． (1)求⊙O的半径长； (2)求线段DG的长． BBGDOECGDOECHA第27题FAF 27.解：（1）设⊙O的半径为r，由已知OD?AB,OF?AC，且OD?OF 则Rt△OAD?Rt△OAF 所以AD?AF 同理，BD?BE,CE?CF????????????????????1分 又?ACB?90 则四边形OECF为正方形，得 CE?CF?r?????????????2分 在Rt△ABC中，由AC?4,BC?3 得AB?5 由AF?BE?AB????????????????????????3分 即(4?r)?(3?r)?5 得 r?1 所以⊙O的半径长为1??????????????????? ???4分 （2）延长AC到点H,使CH?BC?3 0?ACB?900 得 ?CHB?450?????????????? ??5分 0又CG是?ACB的平分线，则?ACG?45 从而?ACG??CHB 所以△ACG∽△AHB???????????????? ?????6分 AGACAC4得??? ABAHAC?BC7420????????????????????????7分 AG??5?77又AD?AF?AC?AG?3???????????????????8分 201所以DG?AD?AG?3????????????? ?????9分 77黑龙江省哈尔滨 27．在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCD为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是(一6，0)，AB=10． （1）求点C的坐标： （2）连接BD，点P是线段CD上一动点(点P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD与点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式(直接写出自变量x 30