∴点N坐标（2，﹣1）；
综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．
点评： 本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．
2. （2015?山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）． （1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
第 11 页 共 47 页
考点： 二次函数综合题．.
分析： （1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；
22
（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC和PA，由条件可得到关于y的方程
可求得y，可求得P点坐标；
（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．
2解答： 解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x+bx+3的对称轴为x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，
2
令y=0，可得﹣x+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0）， ∵抛物线l2经过点A、E两点，
∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5）， 又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣）， ∴﹣=﹣5a，解得a=，
2∴y=（x+1）（x﹣5）=x﹣2x﹣，
∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；
（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3）， ∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4， ∵PC=PA，
第 12 页 共 47 页
∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1， ∴P点坐标为（1，1）；
2
（3）由题意可设M（x，x﹣2x﹣），
∵MN∥y轴，
2∴N（x，﹣x2+2x+3），x﹣2x﹣
22
令﹣x+2x+3=x﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=
，
2
=﹣（x﹣）+
①当﹣1＜x≤显然﹣1＜≤②当
222
时，MN=（﹣x+2x+3）﹣（x﹣2x﹣）=﹣x+4x+
，
，∴当x=时，MN有最大值；
=（x﹣）2﹣
，
222
＜x≤5时，MN=（x﹣2x﹣）﹣（﹣x+2x+3）=x﹣4x﹣
显然当x＞时，MN随x的增大而增大，
2
∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）﹣
=12；
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．
点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．
3.（2015?山东日照 ，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
个单位的速度运动到A后停止，当
第 13 页 共 47 页
考点： 二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．. 专题： 压轴题．
2
分析： （Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然
后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=就可求出tan∠BAC的值；
（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右①当∠PAQ=∠CAB侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得
AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=则点M在整个运动中所用的时间可表示为
+
EN，
，AC=3
，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义
=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，
连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．
2解答： 解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x+mx+n，得
，
解得：．
第 14 页 共 47 页
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为（4，1）． 过点B作BH⊥x轴于H，如图1． ∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1， ∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°， ∴∠BCH=45°，BC=
．
，
同理：∠ACO=45°，AC=3
∴∠ACB=180°=90°﹣45°﹣45°， ∴tan∠BAC=
（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似． 过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x． ∵PQ⊥PA，∠ACB=90°， ∴∠APQ=∠ACB=90°． 若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB． ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴
=
=．
=
=；
∴AG=3PG=3x． 则P（x，3﹣3x）．
第 15 页 共 47 页