∴在Rt△PQM中，PQ=PM2?QM2?252?502?102?55 (dm).
综上所述， PQ长度的取值范围是206dm?PQ?55dm.
【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理.
【分析】（1）①根据两点之间线段最短的性质作答.
②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.
（2）当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值；当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值.求出这两种情况时的PQ长即可得出结论.
12、（2015?四川自贡,第23题12分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0) 的对称轴为x??1，且抛物线经过A?1,0?,C?0,3?两点，与x轴交于点B.
⑴.若直线y?mx?n经过B、C两点，求直线BC所在直线的解析式；
⑵. 抛物线的对称轴x??1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；
⑶.设点P为抛物线的对称轴x??1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
考点：二次函数的性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质、三角形三边之间关系、勾股定理及其逆定理、分类讨论的思想、解方程等. 分析：
yCM⑴.B、C两点是抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与坐标轴的交
点，根据题中提供的对称轴和A?1,0?,C?0,3?可以确定抛物线 的解析式，再通过抛物线的解析式可求出B、C两点的坐标， 进一步可求出直线BC所在直线的解析式
BOAx⑵.要求点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，关键是 作出A或C关于直线x??1为对称轴的对称点，根据二次函 数图象及其性质，A关于直线x??1的对称点恰好是B；根据
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轴对称的性质和三角形三边之间的关系可知，此时M到点A的
距离与到点C的距离之和即CM?AM的值最小；M是直线x??1和直线BC的交点，所以把x??1代入⑴问中求出的BC所在直线的解析式便可求出M的坐标.
⑶. 要使△BPC为直角三角形有三种情况，即以点B为直角顶点、以点C为直角顶点、以点P为直角顶点的直角三角形；由于P为抛物线的对称轴x??1上的一个动点，所以P的横坐标为?1，我们可以设P的纵坐标为一个未知数，利用勾股定理（或者是平面直角坐标系中的两点间的距离公式）分别表示出△BPC的三边，再以勾股定理的逆定理为依据，按上面所说的三种情况进行讨论，建立方程解方程后P的纵坐标便可求出. 略解：
yC
?b??2a??1?a??1???⑴.根据题意：?a?b?c?0 解得：?b??2
?c?3????c?3?M BOAx∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3
∵本抛物线的对称轴为x??1，且抛物线过点A?1,0?
??3m?n?0?m?1y?mx?nB?3,0、C0.3???分别代入∴把? 得:? 解得：?
?n?3?n?3
∴直线y?mx?n的解析式为y?x?3
⑵.设直线BC与对称轴x??1的交点为M,则此时MA?MC的值最小.把x??1代入y?x?3得：y?2.∴M??1,2?，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的
坐标为??1,2?.
22⑶.设p??1,t?，又B??3,0?,C?0,3?
2∴BC2?18,PB2???1?3??t2,PC2???1???t?3??t2?6t?10
①.若点B为直角顶点，则BC2?PB2?PC2,即18?4?t2?t2?6t?10 解得：t??2；
②.若点C为直角顶点，则BC2?PC2?PB2,即18?t2?6t?10?4?t2 解得：t?4；
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③.若点P为直角顶点，则PB2?PC2?BC2,即4?t2?t2?6t?10?18 解得：t?3?173?17,t2? 22
??? ??3?17??3?17?1,?2?1,4?1,?1,?或??或?综上所述P点的坐标为?或????2?2???
13、（2015?四川自贡,第24题14分）在△ABC中，AB?AC?5,cos?ABC?点C顺时针旋转，得到△A1B1C.
3,将△ABC绕5⑴.如图①，当点B1在线段BA延长线上时. ①.求证：BB1PCA1；②.求△AB1C的面积；
⑵. 如图②，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差.
BAB1
A1B1AF1A1 C F B ①
EC②考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理、圆的基本性质等. 分析：
⑴.①.见图①要使BB1PCA1根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角?1??2来证得.
如图根据AB?AC可以得出?B??ACB，根据旋转的特征可以得出B1C?BC，所以
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?1??B ，而?2??ACB(旋转角相等) ，所以 ?1??2.
②. 求△AB1C的面积可以把AB1作为底边，其高在B1A的延长线上，恰好落在等腰三角形
?ABC的AB上；在等腰?ABC和?BBC,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定
1理可以求出AB、BB1、CE，而AB1?BB1?AB，△AB1C的面积可以通过
1AB1?CE求出. 2⑵. 见图②.点C到AB的垂线段最短，过点C作CF?AB于F；点F点F的对应点是F1，若以点C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值； 根据⑴的CA?AB?5和求出的BC?6，当点F为线段AB上的移到端点A时CA最长，此时其对应点F'移动到A1时CA1 如图②，也就最长；以点C为圆心BC为半径画圆交BC于的延长线F1',EF1有最大值. EF1有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决（见图②）. 2.略解： ⑴.①.证明：
∵AB?AC,B1C?BC ∴?B??ACB,?1??B
B1A E ∵?2??ACB(旋转角相等) ∴?1??2 ∴BB1PCA1
②.过A作AF?BC于F,过C作CE?AB于E ∵AB?AC,AF?BC
∴BF?CF（三线合一） ∵在Rt
3? ,又AB?5 ?AFB中，cos?ABC?BFAB5
B ∴BF?3 ∴BC?6 ∴B1C?BC?6
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∴作CE?AB后 BE?B1E（三线合一） ∴B1B?2BE ∵ 在Rt∴BE?
BE3? ?AFB中，cos?BEC?BC5
218 536 52∴BB1?18?24∴CE?6-?=（注：也可以用三角函数求出） ??C 5?5?∴AB1?
3611?5? 55
11124132?∴△AB1C的面积为：??
25525⑵.如图过点C作CF?AB于F,以点C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值.此时在Rt△BFC中，CF? ∴CF1?24. 5
F1
24 5∴EF1的最小值为CF?CE?249?3?； 55F1'如图，以点C为圆心BC为半径画圆交BC于的延长线 F1',EF1有最大值.
此时EF1'?EC?CF1'?3?6?9 ∴线段EF1的最大值与最小值的差9?
936?. 55
14．9分）（2015?广东省,第25题，如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.
（1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；
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