2
把P（x，3﹣3x）代入y=x﹣x+3，得
x2﹣x+3=3﹣3x，
2
整理得：x+x=0
解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），
2
把P（x，3﹣x）代入y=x﹣x+3，得
x2﹣x+3=3﹣x，
2
整理得：x﹣
x=0
，
解得：x1=0（舍去），x2=∴P（
，
）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB， 同理可得：点P的坐标为（11，36）． ②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：点P的坐标为P（
，
）．
，
）、（
，
）；
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3． =在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°
AE，即AE=+
EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E， 则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°， ∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN． 根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小． 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，
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∴四边形OCD′N是矩形， ∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．
对于y=x2
﹣x+3，
当y=0时，有x2
﹣x+3=0，
解得：x1=2，x2=3． ∴D（2，0），OD=2， ∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1， ∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2， ∴点E的坐标为（2，1）．
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点评： 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．
+
转化为DE+EN是
4.（2015?山东聊城,第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．.
分析： （1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，
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得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90° ，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答： 解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=作NP⊥OA于P，如图1所示： 则NP∥AB， ∴△OPN∽△OAB， ∴即
，
，
， ）；
， =
=5，
解得：OP=x，PN=
∴点N的坐标是（x，
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=∴S=OM?PN=（4﹣x）?
=﹣x2+x，
∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），
2
配方得：S=﹣（x﹣2）+，
∵﹣＜0， ∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下： 分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示： 则MN∥AB，
此时OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵MN∥AB，
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∴△OMN∽△OAB， ∴即
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示： 则∠ONM=∠OAB， 此时OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA， ∴△OMN∽△OBA， ∴即解得：x=
；
秒．
，
， ，
，
综上所述：x的值是2秒或
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