点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．
5．(2015·深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB
AB?BC?6cm,OD?3cm,开始的时候BD=1cm,现在和量角器的直径DE在一条直线上，
三角板以2cm/s的速度向右移动。
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2?CG?CE。
【解析】
6． (2015·河南，第17题9分)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合
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的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO. （1）求证：△CDP∽△POB； （2）填空：
① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
② 连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形.
（1）【分析】要证△C
C D P A O 第17题
B DP≌△POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP是△ACB的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS即可得证.
解：∵点D是AC的中点，PC=PB，…………………………………………（3分） ∴DP∥DB，DP?∵OB?
C1AB，∴∠CPD=∠PBO. 2
1AB,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS）.………………………………（5分） 2
PD
AOB 第17题解图
(2) 【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形，由于AO是定值，要使四边形AOPD的面积最大，就得使四边形AOPD底边AO上的高最大，即当OP⊥OA时面积最大；②易得四边形BPDO是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.
解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7分）
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② 60°.（注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分）
【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大，∵由（1）得DP=AO，DP∥DB，∴四边形AOPD是平行四边形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4；②连接OD,∵由DP∥DB，∴四边形BPDO是平行四边形，∴当OB=BP（1）得DP=AO=OB，. 时四边形BPDO是菱形，∵PO=BO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA=60°
7. （2015?四川成都,第28题12分）
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax －2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
5
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 4 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
O A C
B x D l 备用图
y E y O A C B x D l
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【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； （2）a＝－2 5 ；
（3）P的坐标为（1，－267
7 ）或（1，－4） 【解析】： （1）A（－1，0）
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k ∴y＝kx＋k
令ax 2
－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2
－( 2a＋k )x－3a－k＝0 ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4 ∴－3－k
a ＝－1×4，∴k＝a ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a （2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F
设E（x，ax 2
－2ax－3a），则F（x，ax＋a）
EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE － S△CFE
＝1 2＋11
)－ 2
2 ( ax －3ax－4a )( x 2 ( ax －3ax－4a )x ＝11325
22
2 ( ax －3ax－4a )＝ 2 a( x－ 2 )－ 8 a ∴△ACE的面积的最大值为－25
8 a ∵△ACE的面积的最大值为5
4 ∴－2552 8 a＝ 4 ，解得a＝－ 5
（3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2
－3ax－4a＝0
解得x1＝－1，x2＝4 ∴D（4，5a）
∵y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1 设P（1，m）
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）
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y E O A C B x F D l
y O A C B x D l
Q m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a） ∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90° ∴AD 2＋PD 2＝AP 2
P A C O B x D ∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2 17即a ＝ 7 ，∵a＜0，∴a＝－ 7 2
267
∴P1（1，－ 7 ）
②若AD是矩形的一条对角线
35a
则线段AD的中点坐标为（ 2 ， 2 ），Q（2，－3a） m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a） ∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90° ∴AP 2＋PD 2＝AD 2
y Q l ∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2 11即a ＝ 4 ，∵a＜0，∴a＝－ 2
2
∴P2（1，－4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形 267点P的坐标为（1，－ 7 ）或（1，－4）
8. （2015辽宁大连，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m,m），翻折矩形OABC,使点A与点C重合，得到折痕DE.设点B的对应点为F,折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C、F、D的抛物线为y?ax2?bx?c。
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）
（2）若点G的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式。
（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P,使PM=
1EA?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由。 2
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