(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a=①求点D的坐标及该抛物线的解析式.
.
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.
(2)如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.
【答案】(1) ①D（3，1），；②在抛物线上存在点,
使得∠POB与∠BCD互余.（2）a的取值范围是【解析】
.
试题分析：(1) ①过点D作DF⊥x轴于点F,可证△AOB≌△BFD，即可求得D点的坐标，把a=
，点D的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. ②由C、D两点的纵坐标都为1
可知CD∥x轴，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO与∠BCD互余，若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO, 设点P的坐标为（x，情况，当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,由tan∠POB=tan∠BAO=
可得
，解得x的值后代入
）.分两种情况：第一种
求得的值即可得点P的坐标. 第一种情况，当点P在x轴下
2
方时，利用同样的方法可求点P的坐标.（2）抛物线y=ax+bx+c过点E、D，代入可得
，解得，所以，分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数
2
是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax+bx+c
第 31 页 共 47 页
2
有两个交点，抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y
轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜，当a＜符合条件的点Q有两个, 点Q在x
2
轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个.所以当a
＜
2
，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD
2
互余，若符合条件的Q点的个数是4个；②当抛物线y=ax+bx+c开口向上时，满足∠QOB
与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，当点Q
2
在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个. 当2
点Q在x轴的下方时，直线OQ必须与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才
有两个.由题意可求的直线OQ的解析式为交点，所以△=
，即
2
，直线OQ与抛物线y=ax+bx+c由两个
，方程有两个不相等的实数根所以
，画出二次函数
图
象并观察可得的解集为或（不合题意舍去），所
以当，在x轴的下方符合条件的点Q有两个.所以当，抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个. 综上，当a＜
或
2
时，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物
线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，符合条件的Q点的个数是4个. 试题解析：解：(1) ①过点D作DF⊥x轴于点F,如图所示. ∵∠DBF+∠ABO=90°, ∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠DBF=∠BAO,
第 32 页 共 47 页
,AB=BD, 又∵∠AOB=∠BFD=90°∴△AOB≌△BFD, ∴DF=BO=1,BF=AO=2, ∴D点的坐标是（3，1），
根据题意得，∴
，∴该抛物线的解析式为
， .
（Ⅰ）当点P在x轴的上方时，过点P作PG⊥x轴于点G, 则tan∠POB=tan∠BAO，即
,
∴，解得，
∴
∴点P的坐标是
，
.
(2)a的取值范围是考点：二次函数综合题.
.
第 33 页 共 47 页
11. （2015?浙江金华，第23题10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.
（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行②苍蝇在顶点C处时，的最近路线；图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A'GC和往墙面BB'C'C爬行的最近路线A'HC，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D'C'相切，圆心M到边CC'的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
【答案】解：（1）①如答图1，连结A'B，线段A'B就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示， 由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2=A'C'2?C'C22?702?302?5800 (dm)； 在Rt△A'B'C1中， A'GC1=A'B'2?B'C12?402?602?5200(dm) ∵5800＞，∴路线A'GC1更近.
第 34 页 共 47 页
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点， ∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100， 当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3, 此时MP=30+20=50，[
∴PQ=PM2?QM2?502?102?206 (dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4,
过点M作MN⊥AB，垂足为N， ∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，PM2?AN2?MN2?252?502.
第 35 页 共 47 页