第一章 函数
教学过程:
一、集合及其表示、运算
（一）集合的概念
1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母A,B,C?表示.
例如①自然数集:N?{0,1,2,3,4,?},而
N??{1,2,3,4,?}；
② 整数集Z?{0,?1,?2,?3,?}；
③ 有理数集: Q=｛p p?Z,q?N?,且p与q互质｝；
q④ 实数集:R, 而R??{x|x?0,x?R} . 集合的例子：
(1) 2009年1月2日出生的人.
(2) 方程 x?5x?6?0的根. (3) 全体偶数.
(4) 直线 x?y?1?0上所有的点.
不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.
2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母a,b,c?表示.
3.集合与元素的关系(从属关系)
(1) a属于A——事物a是集合A的元素. 记作a?A； (2) a不属于A——事物a不是集合A的元素. 记作a?A.
4.有限集----含有有限个元素. 无限集----含有无限个元素. （二）集合的表示方法
(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即A?{a1,a2,?,an}.
例如 A?{1,2,3,4,5,6}.
(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即 A?{a|a所具有的特征}.
1
2例如 A?{(x,y)|x?y?1}.
22B?{x|x2?5x?6?0}.
（3）全集与空集
①空集——不含有任何元素的集合. 记作?. 提问：?0?,???是空集吗？
②全集——所研究的所有事物组成的集合，记作U. （三）集合的关系（包含关系）与运算 1.【定义1.1】A是B的子集 ——?x?A?x?B.
AB记作A?B.
A是B的真子集—— A??BA?B,且A?B,记作 .
Q例如： N ?, Z ? , Q ? R. ?? Z?2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的真子集.
3.【定义1.2】A与B相等——若A?B且B?A， 记作A?B. 例如：
2（1）设A?{1,2},B?{2,1},C?{xx?3x?2?0},
则A?B?C.
（2）A??x|x是大于1而小于4的整数?；
B??x|x2?5x?6?0?则A?B. 4.【定义1.3】并集
AA?BBA?B?{x|x?A或x?B}, 记作A?B.
5.【定义1.4】交集
A?B?{x|x?A且x?B}, 简记为A?B.
6.【定义1.5】
差集——A?B?{x|x?A且x?B}, A?B有时写成A\\B； 7.【定义1.6】余集(补集) ——A?U?A，
2
c其中U为全集.
显然：(A)?A. （四）集合的运算律 (1)交换律：
① A?B?B?A； ②A?B?B?A.
(2)结合律： ① (A?B)?C?A?(B?C)；
②(A?B)?C?A?(B?C).
(3)分配律： ① (A?B)?C?(A?C)?(B?C)；
② (A?B)?C?(A?C)?(B?C).
(4)对偶原理(摩尔根原理)：
①(A?B)?A?B；② (A?B)?A?B. 证明：先证①. ?x?U，有x?(A?B)?x?A?B
cccc?x?A且x?B?x?A?B. ?x?A且x?B
ccccccccc① 得证.再证②.
Ac?Bc?[(Ac?Bc)c]c?[(Ac)c?(Bc)c]c?(A?B)c.
②得证.
例1 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，记为集合A；61个生产乙种机床，记为集合B；55个两种机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.
(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂； (2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；
(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂； (4)甲、乙两种机床都不生产的工厂.
解（1）此类工厂的集合为A?B,工厂数目为80-55=25（个）.
（2）此类工厂的集合为 B?A,工厂数目为 61-55=6（个）.
（3）此类工厂的集合为 A?B,工厂数目为 25+55+6=86（个）.
（4）此类工厂的集合为 A?B,工厂数目为 100-（25+55+6）=14（个）.
例2 利用集合的运算律证明：(A?B)?(A?B)?B.
3
（五）笛卡尔积
A1?A2???An?{(x1,x2,?,xn)|xi?Ai,i?1,2,?,n}.【定义1.7】设有集合：A和B,对任意的 x?A,y?B，所有的二元有序数组(x,y)构成的集合，称为A和B的笛卡
尔乘积（或直积），记作A?B??(x,y)|x?A,y?B?. 平面点集 R?R?R??(x,y)|x,y?R?.
2空间点集 R?R?R?R??(x,y,z)|x,y,z?R?.
3提问：如果X?Y?{3,0,2},求X?Y. 解 X?Y?{(3,3),(3,0),(3,2),(0,3),
(0,0),(0,2),(2,3),(2,0),(2,2)}.
提问：设集合X?{x1,x2,x3},Y?{y1,y2},Z?{z,1z2}, 求X?Y?Z. 解 X?Y?Z
?{(x1,y1,z1),(x1,y1,z2),(x1,y2,z1),(x1,y2,z1),
(x2,y1,z1),(x2,y1,z2),(x2,y2,z1),(x2,y2,z1),
(x3,y1,z1),(x3,y1,z2),(x3,y2,z1),(x3,y2,z1)}.
例3 设A??x|0?x?2?,
B??x|0?y?1?
则 A?B
??(x,y)|0?x?2,0?y?1?.
例4 设A??0,1?,B??1,2?,C??3?,
则A?B?C??(0,1,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,3)?.
提问：按下列要求举例:
(1)一个有限集合; A?{1,2,3,4};
(2)一个无限集合; B?{k|2n?1,n为正整数}; (3)一个空集; C?{x|x?1?0,x为实数};
(4)一个集合是另一个集合的子集；D1?{1,2}?D2?{1,2,3}
提问：用集合的描述法表示下列集合:
2 (1)圆x?y?25内部(不包含圆周)一切点的集合;
4
22B?{(x,y)|x2?y2?25,x,y均为实数};
(2)抛物线y?x与直线x?y?0的交点的集合.
2C?{(x,y)|y?x2且x?y?0,x,y均为实数}.
提问：用列举法表示下列集合:
(1)抛物线y?x与直线x?y?0的交点的集合; B?{(0,0),(1,1)}
(2)集合{x| |x?1|?5的整数}.
2C?{?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6)}.
提问：下列哪些集合是空集:
A?{x|x?1?0}?A??， B?{x|x2?1?0,x为实数}?B?? C?{x|x?1且x?0}?C??, D?{x|x?0且x?1}?D??
E?{(x,y)|x2?y2?1且x?y?3,x,y为实数} ?E??.
提问：写出A?{0,1,2}的一切子集.
解 ?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
注:空集是任何集合的子集.一般含有n个元素的集合,其子
12n0?Cn???Cn?(1?1)n?Cn?2n?1. 集的个数为:Cn提问：如果A?{0,1,2},B?{1,2},下列各种写法,哪些是对的?哪些不对?
1?A，0?B，{1}?A，1?A，{1}?A，0?A，
{0}?A，{0}?B，A?B，A?B，??A，A?A. 提问:设A?{1,2,3},B?{1,3,5},C?{2,4,6},求：
解 (1)A?B?C?{1,2,3,4,5,6}; (2)A?B?C??; (3)A?B?{2}.
练习.如果A?{x|3?x?5},
B?{x|x?4},
求:(1)A?B；(2)A?B；(3)A?B. 解 (1)A?B?{x|x?3}; (2)A?B?{x|4?x?5};
图5?1
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