例9 判断下列函数的奇偶性
1 （奇函数）； x3（2）y?x?1（非奇非偶函数）
（1）y?（3）y?x?2x（偶函数） （4）y?0 （即奇又偶函数） （5）y?42sinx（偶函数）. x例10 判断函数
?x?1x?0?f(x)??0x?0的奇偶性.
?x?1x?0???x?1?x?0??x?0 解: f(?x)??0??x?1?x?0???x?1x?0???0x?0??x?1x?0 ???f(x)故函数f(x)为奇函数.
结论：设函数f(x)的定义域为(?l,l)，则在(?l,l)上一定
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存在函数奇函数g(x)与偶函数h(x)，使得
f(x)?g(x)?h(x).
即对于定义在(?l,l)上的函数，则有
f(x)?f(?x)奇函数 g(x)?；
2f(x)?f(?x)偶函数 h(x)?.
22.周期性 设D?D(f)
(1)【定义1.11】 周期函数f(x)——?l?0,s.t. ?x?D,有x?l?D且f(x?l)?f(x).其中l称为函数f(x)的
周期.
注1：周期函数在D(f)内每个长度为l的区间上图形相同. 注2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期T.但不是所有的函数都有最小周期，例如f(x)?4就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又例如： 狄利克雷函数 D(x)???1,?0,x?Q,x?R\\Q.
任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.
例11 设下面所考虑的函数都是定义在区间(?l,l)上的, 证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证 (1)①设f(x)?f1(x)?f2(x),
其中f1(x)与f2(x)均为定义在区间(?l,l)上的偶函数,即
f1(?x)?f1(x),f2(?x)?f2(x),则
f(?x)?f1(?x)?f2(?x)?f1(x)?f2(x)?f(x),
故f(x)为(?l,l)上的偶函数.即两个偶函数的和是偶函数. ②设f(x)?f1(x)?f2(x),
其中f1(x)与f2(x)均为定义在区间(?l,l)上的奇函数, 即 f1(?x)??f1(x),f2(?x)??f2(x),则
f(?x)?f1(?x)?f2(?x)??f1(x)??f2(x)??f(x),
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故f(x)为(?l,l)上的奇函数。即两个奇函数的和是奇函数. (2)①设f(x)?f1(x)f2(x),其中f1(x)与f2(x) 均为定义在区间(?l,l)上的偶函数, 即f1(?x)?f1(x),f2(?x)?f2(x),则
f(?x)?f1(?x)f2(?x)?f1(x)f2(x)?f(x),
故f(x)为(?l,l)上的偶函数.即两个偶函数的乘积是偶函
数.
②设f(x)?f1(x)f2(x),其中f1(x)与f2(x) 均为定义在区间(?l,l)上的奇函数,即
f1(?x)??f1(x),f2(?x)??f2(x),则
f(?x)?f1(?x)f2(?x)?f1(x)f2(x)?f(x), 故f(x)为(?l,l)上的偶函数.
③设f(x)?f1(x)f2(x),其中f1(x)与f2(x)
分别为定义在区间(?l,l)上的偶函数与奇函数,即 f1(?x)?f1(x),f2(?x)??f2(x),则
f(?x)?f1(?x)f2(?x)??f1(x)f2(x)??f(x), 故f(x)为(?l,l)上的奇函数.
例12(06年期末) 设f(x)是以2为周期的偶函数,
2且在[0,1]上f(x)?x?2x,则
5351113f(?)??.(f(?)?f(?)?f()??1??)
2422244提问1：设函数f(x)为定义在(??,??)的任何不恒等于零
的函数,则( )必是偶函数.
(A)F(x)?f(x)?f(?x); (B)F(x)?f(x)?f(?x); (C)F(x)?f(?x)?f(x); (D)F(x)?f(?x)?f(?x).
答 (B).因在(B)中F(?x)?f(?x)?f(x)?F(x). 提问2：设f(x),?(x)都是偶函数,且它们的定义域、值域 均为(??,??),则( ).
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(A)?[f(x)]与f[?(x)]都是偶函数; (B)?[f(x)]与f[?(x)]都是奇函数; (C)?[f(x)]与f[?(x)]都是非奇非偶函数; (D)?[f(x)] 是偶函数,f[?(x)]是非奇非偶函数. 答 (A).因?[f(?x)]??[f(x)],f[?(?x)]?f[?(x)]. 3.单调性
【定义1.12】设区间I?D(f) (1) 对于?x1,x2?I且x1?x2，恒有
f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2)),
则称f(x)在I上（严格）单调增加.记作f(x)?I. y yy?f(x) y?f(x) f(x1)f(x2)f(x1)f(x2) x1x2Ox x1x2OI I(2)对于?x1,x2?I且x1?x2，恒有xf(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2)),
则称f(x)在I上（严格）单调减少.记作f(x)?I. (3) 单调函数：单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.
例13 讨论下列函数的单调性
(1) y?x, ???x???. —— 单调增加函数. (2) y?x, ???x???. —— 不是单调函数. 例14 设f(x)为定义在(?l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明 f(x)在(?l,0)内也单调增加. 证 任取x1,x2?(?l,0),若x1?x2,有?x2??x1?(0,l),因f(x)在(0,l)内单调增加,所以f(?x2)?f(?x1),又
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23f(x)为(?l,l)内的奇函数,则
f(x1)??f(?x1)??f(?x2)?f(x2),
所以(0,l)在(?l,0)内也单调增加. y4.函数的有界性
【定义1.13】设E?D(f) (1) f(x)在E上有上界
My?f(x)M1—— ?M1?R
Oxs.t. f(x)?M1, x?E. (2) f(x)在E上有下界 ?MM2—— ?M2?Rs.t. f(x)?M2, x?E. y(3) f(x)在E上有界M—— M?M?0
y?f(x)s.t.|f(x)|?M,x?E,.
记作 f(x)?O(1), x?E. Ox显然：f(x)在E上有界?
f(x)在E上有上界且有下界. ?M(4) f(x)在E上无上界—— ?M1?R, ?x0?E, s.t. f(x0)?M1.
(5) f(x)在E上无下界—— ?M2?R, ?x0?E,s.t. f(x0)?M2.
(6) f(x)在E上无界—— ?M?0, ?x0?E,s.t. |f(x0)|?M.
显然：f(x)在E上无界?f(x)在E上无上界或无下界.
例15 讨论下列函数的有界性
(1) y?f(x)?sinx,???x???. 解：由于|sinx|?1,???x???，
故函数y?sinx在(??,??)内有界M?1. (2) y?f(x)?
1,1?x?2. x20