Q1.需求函数：Q?f(P) (或P?f?1(Q)).
一般地,Q?f(P)? .
一定的价格水平P,在一定时间内,消费者愿意而且有支付能力购买的商品量Q,即需求量. 常见的需求函数：
(1)线性函数 Q??aP?b,a,b?0；
显然,当价格P?0时,Q?b即市场的饱和需求量;
而当价格涨到P?b/a时,Q?0,即无人愿意购买该产品.
(2)幂函数 Q?kP,a,k?0； (3)指数函数 Q?ae?bP?a,a,b?0.
?12.供给函数：Q??(P) (或P??(Q)).
一般地,Q??(P)? .
一定的价格水平P,在一定时间内,生产愿意而且可供出售的商品量Q,即供给量. 常见的供给函数：
(1)线性函数 Q?aP?b,a,b?0；
(2)幂函数 Q?kP,a,k?0； (3)指数函数 Q?ae,a,b?0. bPaQ?f(P)Q??(P)在同一坐标系中绘出需求函数曲线 Q?f(P)和供给函数曲线 Q0Q??(P),两曲线交点(P0,Q0)就 是供需平衡点,P0称为均衡价格. OPP03.生产函数：y?f(x).
一定时间内各生产要素的投入量x与产品的最大可能产量之间的关系.
例9 (1)在电力输送过程中,如用x表示能量输入,则能量输出
2为 y?f(x)??c?c?cx, c?0为容量参数.
(2)若投入x,产出为g(x)?cx,有
ag(2x)?2acxa?2ag(x), ??g(2x)?2a,那么, g(x)当a?1时,??2,规模报酬不变；(投入增加一倍,产出增加一倍)
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当a?1时,??2,规模报酬减少；(投入增加一倍,产出增加不足一倍)
当a?1时,??2,规模报酬增加。(投入增加一倍,产出增加超过一倍)
4.成本函数：C?C(x)?C0(x)?C1(x).
成本是生产一定数量产品x所需要的固定和可变生产要素投入费用总额.固定成本C0(x)包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本C1(x)包括材料、燃料以及生产工人工资等.
例10 某工厂生产某产品,每日最多生产100个单位.它的日固定成本为130元,生产一个单位产品的可变成本为6元.求该厂日总成本函数及平均单位成本函数.
解：设每日生产产品x个单位, 日总成本为C,平均单位成本为C,则
C?C(x)?130?6x, x?[0,100].
C(x)130??6, x?(0,100]. xx例11 某厂生产函数为Q?24L,其中L表示劳动力数量.
求当劳动力价格为1152时的可变成本函数C?C(Q).
C?C(x)?Q2?Q?解：由于L??,则可变成本函数为 ??576?24?Q2C?1152L?1152??2Q2.
5765.收益函数：总收益R?R(Q),平均收益R?2R(Q). Q总收益R是生产者出售一定数量产品Q所得到的全部收入.
如果产品价格P保持不变,则R?PQ,R?P.
6.利润函数：L(Q)?R(Q)?C(Q).
利润L是生产中获得的总收益R与投入的总成本C之差. 例12 已知某产品价格为P,需求函数为Q?50?5P,成本函数为C?50?2Q,求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？
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解：由于Q?50?5P,有P?10?Q,于是收益函数为 5Q2 R?PQ?10Q?5这样,利润函数为
?Q2?12???L?R?C??10Q??50?2Q??(Q?20)?30, ??5?5?因此,当产量Q?20时利润最大,最大利润为30. 7.库存函数：E?E(q).
一定时间内库存费用E与物品库存量q之间的关系.
例13 某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元.设产品均匀投入市场,且上一
批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年内库存费与生产准备费的和与批量的函数关系. 解：设批量为x,则库存费与生产准备费的和为
axabcx?c???, x?(0,a]. x2x2例14 设某企业在计划期T内,对某种物品总需求量为Q,由
P(x)?b?于库存费用及资金占用等因素,显然一次进货是不合算的.考虑均匀地分n次进货,
QT,进货周期为t?. nn假定每件物品的储存单位时间费用为C1,每次进货费用为
每次进货批量为q?C2,每次进货量相同,进货间隔时间不变,以匀速消耗贮存物
品,则平均库存为
q, 2在时间T内的贮存费为E1?进货费为E2?C2总费用为
1C1Tq, 2Q, q38
1QyE?E1?E2?C1Tq?C2. 2qk8.戈珀兹曲线：y?kab,
lna?0,0?b?1,k?0. 戈珀兹曲线常用在经济预
发展期x饱和期O初始期测中.
练习：某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.
解 设销售收入为R,销售量为x,由条件知
t?130x , 0?x?700,R??
?130[700?0.9(x?700)], 700?x?1000.例15 按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为4.2%,半年期存款的年利率为4.0%,每笔存款到期后,银行自动将其转为同样期限的存款,设将总数为A单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益？多多少？
解：依题意,半年期存款两年后本利和为
A1?A(1?0.5?4.0%)4,
一年期存款两年后本利和为A2?A(1?4.2%), 由于A2?A1?A(1?4.2%)?A(1?0.5?4.0%)
242?0.00333184A.
所以, 一年期存款有较多的收益,多0.00333184A.
例16 某工厂生产某种产品,年产量为x,每台售价250元,当年产量600台以内时,可以全部售出, 当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系.
解：(1)当0?x?600时, R?250x；
(2)当600?x?800时,
R?250x?20(x?600)?230x?12000；
(3)当x?800时,R?230?800?12000?196000.
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?250x, 0?x?600,?所以R??230x?12000, 600?x?800,
?196000, x?800.?例17 某厂生产录音机的成本为每台50元,预计当以每台x元的价格卖出时,消费者每月购买200?x台,请将该厂的月利润表达为价格x的函数.
解：依题意,月收入为R?x(200?x),成本为C?50(200?x),则月利润为
L?R?C?x(200?x)?50(200?x)?(200?x)(x?50). 练习：当某商品价格为P时,消费者对该商品的月需求量为 D(P)?12000?200P.
(1)画出需求函数图形；
(2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格的函数；
(3)销售额的图形,并解释其经济意义. 解：(1)
2(2)月销售额R(P)?P?D(P)?12000P?200P. (3) 由于
R(P)?12000P?200P2??200(P?30)2?180000,于是 ①当商品价格不超过30时,月销售额随价格上涨而增加； ②当商品价格达到30时,月销售额随价格达到最大180000；
③当商品价格超过30时,月销售额随价格上涨而减少； ④当商品价格达到60时,因无需求量而使得月销售额0.
练习：报纸的发行量以一定的速度增加,三个月前发行量为32000份,现在为44000份.
(1)写出发行量依赖于时间的函数关系,并画出图形； (2)2个月后的发行量是多少？
解：(1)依题意,报纸的发行量每月增加
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44000?32000?4000份,若以现在为时间起点,用x表示报
3纸发行的月份数,那么发行量为
y?4000x?44000.
(2)2个月后的发行量是y?4000?2?44000?52000份. 练习：某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.
(1) 要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资)？ (2) 卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？ (3) 要获得1250元利润,需要卖多少台？
解：依题意,设手掌机卖掉x台,则厂家赢利为
L?R?C?110x?(7500?60x)?50x?7500. (1)令L?50x?7500?0,有x?150,即要卖150台手掌机,厂家才可保本.
(2)因L?50?100?7500??2500,可见卖掉100台的话,厂家亏损2500元.
(3)令L?50x?7500?1250则x?175,即获得1200元利润,需卖175台.
练习：设某商品的需求函数与供给函数分别为D(P)?和S(P)?P?10.
(1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；
(3)何时供给曲线过P轴,这一点的经济意义是什么？ 解：(1)令D(P)?S(P),即
5600P5600?P?10,得均衡价格PP?80.
此时的供给量D(80)?5600?70,需求量80S(80)?80?10?70.
(2)
(3)令S(P)?P?10?0,得P?10,说明只有当商品的价格超过10时,才有厂家愿意生产并提供该商品出售.
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