11??1,1?x?2,， x11故函数y?在(1,2)内有界M?1.
x1(3) y?f(x)?,0?x?1.
x1?E?(0,1), 解：由于?M1?R, 取x0?M1?1解：由于
s.t.f(x0)?所以函数y?1?M1?1?M1, x01在(0,1)内无上界, 当然是无界的. x1例16 证明函数 y?是有界函数. 21?x1证：y?的定义域为 (??,??)， 21?x11? y?，
1?x21?x212 1?x?1??1?y?1， 21?x1故 函数 y?是有界函数. 21?x1例17 设3f(x)?f()?x,求f(x).
x1?3f(x)?f()?x,??x解 由已知条件知? ,
?f(x)?3f(1)?1,?xx?11 则 f(x)?(3x?)
8x四、复合函数与反函数
21
（一）反函数
1.【定义1.14】函数y?f(x),x?D由一一映射所确定,若将y看成自变量,x看成因变量,这样所确定的函数
x??(y)称为函数y?f(x)的反函数,记作x?f?1(y).
?1?1其中：(1)反函数f(y)的定义域为Z(f)?f(D),f(y)的 值域为D?D(f).(2)而函数y?f(x)称为原函数.
显然：(1)y?f(x)与x?f(2)
?1(y)互为反函数.
y?f(x)与y?f?1(x)的图形关于y?x对称.
y y?xy?f?1(x) y?f(x) Ox 例1 求下列函数的反函数 ① y?x,???x???.
解：反函数为 x?3y,???y???. ② y?x,???x???. 解：反函数为
23x?y,0?y??? 或 x??y,0?y???.
?1可见, 单值函数的反函数可能是多值函数. ③ y?3x?1?x?f数的反函数.
(y)?y?1x?1为原函?y?332x④y?x.
2?12x11?y?1??x?2x??1 提示：y?x2?12?11?y
22
yx)?y?log2(). 1?y1?x?x?1x?0例2 求函数 y??2 的反函数.
xx?0?解：当x?0时，
y?x?1?x?y?1 （y??1）； 当 x?0时，
y?x2?x?y(y?0) ?x?log2(综上所述 所求反函数为
??x?1x??1y??.
x?0??x2.【反函数存在定理】严格单调的函数f必存在单调的反函
数，且凡函数与原函数具有相同的单调性.则 ①f(x)?I?f?1(y)?f(I)；
②f(x)?I?f(y)?f(I). （二）复合函数
【定义1.15】设有两个函数y?f(u)及u??(x),
?1D1?D(?), D2?D(f), 且 ?(D1)?D2??, 则称定义
在
?x|x?D,?(x)?D??f上的函数y?f[?(x)]为
y?f(u)与u??(x)复合而成的复合函数f??(x)?f[?(x)].其中u??(x)为中间变量，x?Df??为自变量.
说明：函数y?f(x)中的自变量x换成x的函数?(x)，所形成的函数y?f[?(x)]称为复合函数.注意复合函数内层函数的值域与外层函数定义域的交集非空.
提问：已知 f(x)?x，求 f(0),f(10),f(a)（其中a为
21x22解：因为f(x)?x，所以f(0)?0,f(10)?100,f(a)?a，
常数），f(x?10)，f(?x),f()(x?0)f[f(x)].
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11f(x?10)?(x?10)2，f(?x)?x2,f()?2，
xxf[f(x)]?(x2)2?x4.
例3 设y?f(u)?u,u??(x)?1?x2,
D1?D(?)?[?1,1], 由于 ?(D1)?[0,1]?[0,??)??,
从而有复合函数 y?f[?(x)]?1?x2. 提问：设y?f(u)?u,u??(x)?a?x2，分别考察
a?1,a??1时，y?f[?(x)]是不是复合函数.
解：a?1时，有y?u,u?1?x2，
D(f)?[0,??),Z(?)?(??,?1]，Z(?)?D(f)??，
故 有复合函数
y?f[?(x)]?1?x2,D[f??]??1,1].
a??1时，有y?u,u?1?x2，D(f)?[0,??), Z(?)?(??,1],Z(?)?D(f)??，
?1?x2不存在. 2x?1提问2：复合函数y?arcsin的定义域为
3（ D?[?1,2] ）
故 复合函数y?f[?(x)]?提问3：函数 y?e（ y?e,u?ux2?1由哪些函数复合而成？
v,v?x2?1 ）
例4 设y?f(u)?arcsinu,u??(x)?x2,
D1?D(?)?[?1,1],
由于 ?(D1)?[0,1]?[?1,1]?D(f)?D2, 从而有复合函数 y?f[?(x)]?arcsin(x2). 例5 y?f(u)?arcsinu,u??(x)?2?x2, D1?D(?)?[?1,1],
由于 ?(D1)?[2,3]?[?1,1]?D(f)?D2,
从而函数y?arcsinu与u?2?x2不能构成复合函数.
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例6 设y?u,u?cotv,v?x, 从而复合函数为2xy?cot,x?[2k?,(2k?1)?](k为整数).
2注：复合函数可以由两个以上的函数复合而成. 练习：指出下列函数的复合过程
(1)y?cos2x；解：y?cosu,u?2x.
1. x3sin3x(3)y?e；解：y?eu,u?v,v?sinx. (4)y?arcsin[lg(2x?1)]；
解：y?arcsinu,u?lgv,v?2x?1.
?1, x?0,?2例7 设f(x)??0, x?0,求f(x?1),f(x?1).
?1, x?0.?(2)y?e；解：y?eu,u?1x?1, x?1?0?1, x?1,??解 f(x?1)??0, x?1?0??0, x?1,
?1, x?1?0?1, x?1.???1, x2?1?0?1, ?1?x?1,??22 f(x?1)??0, x?1?0??0, x??1,
??1, x?1或x??1.21, x?1?0???x2, 0?x?1,例8 设?(x?1)??求?(x).
?2x, 1? x?2.?(x?1)2 , 0?x?1?1解 ?(x)??
?2(x?1), 1? x?1?2?(x?1)2, 1?x?2,??
2(x?1), 2? x?3.?2例9 已知 f(x)?x?1,?(x)?sinx，
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