求f[f(x)],f[?(x)]，?[f(x)],?[?(x)]. 解：f[f(x)]?(x?1)?1?x?2x ；
2242f[?(x)]?(sinx)2?1??cos2x
?[f(x)]?sin(x2?1),?[?(x)]?sinsinx. 例10 已知 f(x)?x(x?1)，求f(x?1).
解：f(x?1)?(x?1)[(x?1)?1]?x(x?1). 例11 已知 f(x?1)?x(x?1)，求f(x). 解：由f(x?1)?x(x?1)?[(x?1)?1](x?1)，得
f(x)?(x?1)x. 五、初等函数
（一）基本初等函数
1.常数函数：y?c（c为常数）
2．幂函数：y?f(x)?x?, (?是常数). 幂函数的定义域 D(f)?(0??, )例如：y?x2, ???x???；
y?x3, ???x???；
y?x?x, 0?x???；
1?1y??x2, 0?x???.
x3．指数函数
(1)【定义】y?f(x)?ax, (a是常数且a?0,a?1). (2) 定义域与值域: D(f)?(??,??), f(D)?(0,??). (3) 单调性:①当a?1时, y?ax?R; ②当0?a?1时,
12y?ax?R.
?1??1?注：因???a?x, 故y???与y?ax关于y轴对称.
?a??a?(4) 常用的指数函数: y?ex, ???x???.
其中: e?2.7182818? 为一常数. 此函数在科技中很常
用.
4.对数函数
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xx(1)【定义】y?f(x)?logax(a是常数且a?0,a?1). 注：由于logaax?x,故y?logax与y?ax互为反函数, 函数图形关于y?x对称. (2)定义域与值域:
D?D(f)?(0,??),f(D)?(??,??).
(3) 单调性:①当a?1时,y?logax?D; ②当0?a?1时,y?logax?D.
(4) 自然对数函数: y?lnx?logex, 0?x???. 5．三角函数
(1) 正弦函数: y?sinx.
T?2?, D(f)?(??,??), f(D)?[?1,1].
(2) 余弦函数: y?cosx.
T?2?, D(f)?(??,??), f(D)?[?1,1].
(3) 正切函数: y?tanx.
???T??, D(f)?{x|x?R,x?(2k?1),k?Z},
2f(D)?(??,??).
(4) 余切函数: y?cotx.
T?2?, D(f)?{x|x?R,x?k?,k?Z}, f(D)?(??,??).
?1 (5) 正割函数: y?secx?.
cosx?, T?2?,
D(f)?{x|x?R,x?(2k?1)??2,k?Z}f(D)?(??,?1]?[1,??).
(6) 余割函数: y?cscx?1. sinxT??,
D(f)?{x|x?R,x?k?,k?Z}, f(D)?(??,?1]?[1,??).
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补充．
cosxsinx三角函数公式记忆图
tanxcotx1
secxcscx(1)八大关系记忆口诀：
中为两端积；方为两上方；顶为邻顶积. (2)解释
① sinxcscx?1，cosxsecx?1，
tanxcotx?1. 2222② sinx?cosx?1，tanx?1?secx，
cot2x?1?csc2x.
③ sinx?tanxcosx，cosx?sinxcotx， cotx?cosxcscx，cscx?cotxsecx， secx?cscxtanx，tanx?secxsinx. (3)三角函数的符号规律(只记正号情况) 正弦一、二全为正,余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然，斜插一、三两象限. 6．反三角函数
(1) 反正弦函数: y?Arcsinx?arcsinx?2k?(k?Z). 多值函数主值:
y?arcsinx,D(f)?[?1,1],f(D)?[?,]. 单值函数.
22(2) 反余弦函数: y?Arccosx?arccosx?2k?(k?Z).
多值函数主值:
y?arccosx,D(f)?[?1,1],f(D)?[0,?]. 单值函数. (3) 反正切函数: y?Arctanx?arctanx?k?(k?Z). 多值函数主值:
??y?arctanx,D(f)?(??,??),f(D)?(?,).单值函
22数.
(4) 反余切函数: y?Arccotx?arccotx?k?(k?Z). 多值函数主值:
y?arccotx,D(f)?(??,??),f(D)?(0,?).单值函数.
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??（二）初等函数
1．基本初等函数：常数函数、指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.
2．初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数. 例如：y?1?x2, y?sin2x, y?函数.
思考:y?x为初等函数吗? ( y?x?xcot 等均为初等
2x2是初等函数也是分段函数)
提问：下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？ (1) y?e?x2?sin2x; 解：此函数显然是初等函数.
1x?ln(2?cosx); 解：此函数显然是初等函数.
2??1, x?0,(3) y?? 解：此函数不是初等函数.
3, x?0.??x?1, ?1?x?0,*
(4) y??
??2x?1, 0?x?1.解：令u?x?1,v??2x?1,?1?x?1，有
u?v?|u?v| y?min{u,v}?2(2) y?(x?1)?(?2x?1)?[(x?1)?(?2x?1)]2 ?22?x?(3x)2, ?1?x?1，故此函数是初等函数. ?2?2?x, x?1,（5）函数y??
x, x?1.?解：令u?2?x,v?x,有
u?v?|u?v| y?max{u,v}?2
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(2?x)?x?[(2?x)?x]2?22?(2?2x)2??(x?1)2?1,
2由于函数能用一个解析式表示故此函数是初等函数.
提问1：设f(sinx)?cos2x?tanx,x?(0,1)，求f(x)
22sin2x解：f(sinx)?cos2x?tanx?1?2sinx? 21?sinxx. ?f(x)?1?2x?1?x?x,x?01提问2：设f(x)?(x?x),?(x)??2，
2?x,x?0求f[?(x)].
1提示：当x?0时，f[?(x)]?(x?x)＝0；
21222当x?0时，f[?(x)]?(x?x)?x.
2?0,x?0. f[?(x)]＝?2?x,x?0提问3：设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(1)?a且对有?x?Rf(x?2)?f(x)?f(2). （1）试用a表示f(2)，f(5).
（2）问a取何值时，f(x)以2为周期.
解：（1）令x??1代入等式得f(?1?2)?f(?1)?f(2) 又f(x)奇函数?f(2)?2f(1)?2a，x?1代入等式得f(3)?f(1)?f(2)?3a，x?3 代入等式得f(5)?f(3)?f(2)?5a （2）若f(x)以2为周期则
f(x?2)?f(x)?0?f(2)?0?2a?0?a?0.
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